Как находить диагональ параллелограмма: пошаговое руководство

Параллелограмм - одна из самых распространенных геометрических фигур, встречающаяся в архитектуре, дизайне, строительстве. Его диагонали обладают уникальными свойствами, позволяющими упростить многие вычисления. В этой статье мы подробно разберем, как находить диагонали параллелограмма при решении разнообразных практических задач.

1. Основные сведения о параллелограмме и его диагоналях

Параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны по длине. К основным свойствам параллелограмма относятся:

• Противоположные стороны параллельны и равны (AB || DC; AD || BC; AB = DC; AD = BC)
• Противоположные углы равны (∠A = ∠C; ∠B = ∠D)
• Диагонали взаимно перпендикулярны и делят параллелограмм на два равных треугольника

Диагональ параллелограмма - отрезок, соединяющий две его противоположные вершины (например, AC и BD).

2. Нахождение диагонали через стороны и углы

Чтобы найти диагональ параллелограмма, необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Рассмотрим треугольник ACD, образованный сторонами параллелограмма AC и CD и его диагональю AD:

Согласно теореме косинусов, для этого треугольника справедливо соотношение:

AD² = AC² + CD² - 2∙AC∙CD∙cosα

где α - угол между сторонами AC и CD параллелограмма.

Отсюда, диагональ AD параллелограмма равна:

AD = √(AC² + CD² - 2∙AC∙CD∙cosα)

Для нахождения второй диагонали BC, определяем угол β между сторонами AB и BC (β = 180° - α) и применяем аналогичную формулу:

BC = √(AB² + DC² - 2∙AB∙DC∙cosβ)

Таким образом, зная длины сторон и угол между ними, можно найти обе диагонали параллелограмма. Продемонстрируем это на числовом примере.

Пример. Дан параллелограмм со сторонами AB = 5 см, BC = 7 см и углом ABC = 40°. Найти его диагонали AC и BD.

Решение. 1) Вычисляем диагональ AC:

• AC² = 5² + 7² = 25 + 49 = 74
• cos40° = 0,766
• AC = √(74 - 2∙5∙7∙0,766) = √(74 - 53,62) = √20,38 = 4,51 см

2) Находим угол BAD = 180° - 40° = 140°.

3) Вычисляем диагональ BD:

• BD² = 5² + 7² = 74
• cos140° = -0,766
• BD = √(74 + 2∙5∙7∙0,766) = √(74 + 53,62) = √127,62 = 11,3 см

Ответ: AC = 4,51 см; BD = 11,3 см

3. Вычисление диагонали при известном периметре

Периметр параллелограмма равен сумме его сторон. Зная периметр и сторону параллелограмма, можно найти вторую сторону, после чего вычислить диагональ по формулам из предыдущего раздела.

Например, если дан периметр параллелограмма 20 см и одна из его сторон равна 5 см, тогда вторая сторона составит (20 - 2∙5)/2 = 10/2 = 5 см. Далее, при наличии дополнительной информации об угле, можно найти искомую диагональ.

Рассмотрим такую задачу:

Задача. Периметр параллелограмма равен 34 см. Одна из его сторон равна 7 см, а диагональ, проходящая через эту сторону и противоположную вершину, равна 13 см. Найти вторую диагональ параллелограмма.

Решение:

1. Из условия задачи: периметр параллелограмма = 34 см
2. Одна сторона = 7 см
3. Вторая сторона = (34 - 2∙7)/2 = 10 см
4. Дана диагональ AC = 13 см
5. Из теоремы косинусов:
   AC
   ²
   = 7
   ²
   + 10
   ²
   - 2∙7∙10∙cosα 169 = 49 + 100 - 140∙cosα cosα = 0,5
6. Угол BAD = 180° - α = 180° - 60° = 120°
7. BD² = 7² + 10² - 2∙7∙10∙cos120° = 169
8. BD = 13 см

Ответ: Вторая диагональ BD = 13 см

4. Практическое применение

Умение находить диагонали параллелограмма пригодится для решения многих практических задач.

4.1. Вычисление площади параллелограмма

Одно из основных применений - это вычисление площади параллелограмма. Известно, что диагонали делят параллелограмм на два равных треугольника. Зная длины сторон и диагонали одного из этих треугольников, можно найти его площадь по формуле для площади треугольника:

где a и b - стороны треугольника, c - диагональ.

Площадь всего параллелограмма будет в 2 раза больше.

4.2. Построение параллелограмма

Еще одно важное применение диагоналей - это построение самого параллелограмма. Например, если известны координаты двух противоположных вершин A(x1, y1) и C(x2, y2) и длины сторон a и b, то можно вычислить координаты оставшихся вершин B и D.

Для этого сначала находим уравнения прямых AC и BD (диагоналей параллелограмма). Затем определяем точки их пересечения с прямыми, параллельными отрезкам AB и BC на расстоянии, равном длине этих отрезков (сторонам параллелограмма).

5. Задачи на нахождение диагонали параллелограмма

Рассмотрим несколько примеров типовых задач на вычисление диагоналей параллелограмма.

Задача 1

Диагональ АС параллелограмма АВСД равна 5 см. Найдите диагональ ВД, если известно, что ∠АВС = 60°, а ВС = 3 см.

Задача 2

Одна из диагоналей параллелограмма равна 12 см. Чему равна вторая диагональ, если стороны параллелограмма относятся как 3:5, а угол между этими сторонами равен 120°?

Задача 3

В параллелограмме АВСД известно, что АВ = 6 см, ∠АВС = 40°, и периметр АВСД равен 30 см. Найдите диагональ ВД.

6. Методика обучения

При обучении теме "Диагонали параллелограмма" в школьном курсе геометрии рекомендуется:

1. На начальном этапе дать определения параллелограмма и его диагоналей, сформулировать их свойства
2. Показать обучающимся вывод формул для нахождения диагоналей через теорему косинусов
3. Решить 1-2 типовые задачи с комментариями
4. Привести примеры практического применения диагоналей параллелограмма
5. Предложить ученикам самостоятельно решить 2-3 задачи на нахождение диагоналей

Такой подход позволит учащимся полностью разобраться в теме и закрепить навыки использования диагоналей параллелограмма на практике.