Криволинейная трапеция: определение, свойства

Криволинейные трапеции являются удивительными математическими объектами, скрывающими много интересных свойств. Давайте попробуем разобраться, что представляют собой эти фигуры и почему они так притягательны для многих людей.

Что такое криволинейная трапеция

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной функции, не меняющей знака на заданном отрезке, двумя вертикальными отрезками-ограничителями и осью абсцисс. Иными словами, эта фигура находится под кривой графика функции и имеет "криволинейную крышу". Отсюда и название.

Криволинейная трапеция это частный случай обычной трапеции, у которой вместо одной из параллельных сторон используется дуга кривой.

Свойства криволинейной трапеции:

• Функция, ограничивающая сверху, должна быть непрерывной
• Функция не меняет знак на заданном отрезке [a;b]
• Имеет две вертикальные границы при x = a и x = b
• Опирается снизу на ось абсцисс (ось X)

Рассмотрим несколько конкретных примеров таких фигур:

1. Трапеция, ограниченная параболой $y = x^2 + 2x + 1$
2. Трапеция под графиком $y = \sin x$
3. Трапеция, заданная функцией $y = \sqrt{x}$

Как видим, криволинейных трапеций существует огромное многообразие в зависимости от вида функции. Это открывает большие возможности для изучения их свойств.

Вычисление площади

Одним из важнейших параметров криволинейной трапеции является ее площадь. Чтобы найти площадь, используется специальная формула:

S = ∫_a^b f(x) dx

Это и есть знаменитая формула Ньютона-Лейбница. Она позволяет вычислить площадь, зная функцию f(x). Рассмотрим подробнее разные случаи применения этой формулы.

Тип 1: Трапеция задана явно

В этом случае функция и границы трапеции указаны непосредственно в условии задачи. Достаточно просто подставить все данные в формулу Ньютона-Лейбница и вычислить интеграл.

Например, найти площадь трапеции под функцией $y = x^2 - 3x + 1$, ограниченной линиями $x = -1$ и $x = 2$.

Решение будет следующим:

S = ∫_-1² (x² - 3x + 1) dx = 5 ед²

Как видим, все довольно просто. Главное - правильно определить функцию и пределы интегрирования.

Тип 2: Трапеция задана неявно

В этом случае функция задана, но границы трапеции не указаны явно. Их нужно определить, найдя точки пересечения функции с осью X.

Например, дана функция $y = 1 - x^2$. Требуется найти площадь фигуры под ней. Сначала находим точки пересечения с осью X:

• $1 - x^2 = 0$
• $x = -1; \ x = 1$

Это и есть границы нашей трапеции. Далее применяем стандартную формулу вычисления площади криволинейной трапеции:

S = ∫_-1¹ (1 - x²) dx = 4/3 ед²

Тип 3: Пересечение двух функций

Бывают случаи, когда вместо криволинейной трапеции задана фигура, ограниченная пересечением двух функций. Тогда сначала также находят точки их пересечения как границы интегрирования. А затем вычисляют площадь отдельно под каждой функцией и находят разность этих площадей.

Тип 4: Функция меняет знак

Если функция, ограничивающая трапецию, меняет знак на заданном отрезке, то сначала нужно построить симметричное отображение этой области относительно оси X. А затем уже вычислять площадь полученной фигуры по стандартным правилам.

Допустим, дана функция $y = x^2 - 1$, пересекающая ось X в точках X = -1 и X = 1. Чтобы найти площадь, применяем следующие действия:

1. Зеркально отображаем область относительно оси X
2. Получаем функцию $y = 1 - x^2$
3. Вычисляем площадь под ней от -1 до 1

В итоге площадь исходной фигуры будет равна найденной площади отображения.