Как записывать числа в стандартном виде: правила и примеры

Запись чисел в стандартном виде - это удобный способ работы с очень большими и очень маленькими числами, с которыми часто приходится сталкиваться в естественных науках. Давайте разберемся, что это такое, зачем это нужно и как правильно записывать числа в стандартном виде.

Определение стандартного вида числа

Стандартный вид числа - это запись числа в виде произведения двух множителей:

• Первый множитель (мантисса) - число от 1 до 10 (не включая 10)
• Второй множитель - степень числа 10 с целым показателем (порядок)

Например, число 5600 можно записать в стандартном виде так:

5600 = 5,6 · 103

Здесь 5,6 - мантисса, а 3 - порядок числа.

Как записать число в стандартном виде

Чтобы записать число в стандартном виде, нужно:

1. Разделить исходное число на степень 10 так, чтобы в числителе получилось число от 1 до 10
2. Умножить результат на ту же степень 10

Например, запишем число 571000 в стандартном виде:

1. 571000 : 10000 = 57,1
2. 57,1 · 10000 = 571000

Получаем: 571000 = 57,1 · 105

Здесь 57,1 - мантисса, 5 - порядок числа.

Примеры записи разных чисел в стандартном виде

Рассмотрим несколько примеров записи чисел в стандартном виде.

Пример 1

Запишем число 86400 в стандартном виде:

1. 86400 : 100000 = 0,864
2. 0,864 · 100000 = 86400

Ответ: 86400 = 0,864 · 105

Пример 2

Запишем число 0,000000371 в стандартном виде:

1. 0,000000371 · 10000000 = 3,71
2. 3,71 · 0,0000001 = 0,000000371

Ответ: 0,000000371 = 3,71 · 10-7

Пример 3

Запишем число 10 в стандартном виде:

1. 10 · 1 = 10
2. 10 · 10⁰ = 10

Ответ: 10 = 1 · 101

Вычисления со стандартными числами

Когда числа записаны в стандартном виде, над ними можно выполнять обычные математические операции. Рассмотрим основные правила.

Сложение и вычитание

Чтобы сложить или вычесть стандартные числа, нужно:

1. Привести числа к одинаковому порядку (при необходимости)
2. Сложить или вычесть мантиссы
3. Порядок оставить без изменений

Например:

3,2·104 + 5·103 = 3,2·104 + 0,5·104 = (3,2 + 0,5)·104 = 3,7·104

Умножение и деление

При умножении и делении стандартных чисел:

• Мантиссы перемножаются (делятся)
• Порядки складываются (вычитаются)

Например:

1,5·103 · 2·10-5 = 1,5·2 · 103-(-5) = 3·10-2

Примеры вычислений со стандартными числами

Рассмотрим несколько примеров вычислений с числами, записанными в стандартном виде.

Пример 1

6,7·104 + 3,52·105

Решение: 6,7·104 + 352·103 = (6,7 + 352)·104 = 358,7·104

Пример 2

6,33·10-5 : 2,1·10-7

Решение: 6,33 : 2,1 · 10-5-(-7) = 3,01·102

Запишите в стандартном виде следующие числа

Рассмотрим еще несколько примеров на запись разных чисел в стандартном виде:

Пример 3

Записать в стандартном виде число 0,00000098.

Решение: 0,00000098 · 100 000 000 = 9,8 9,8 · 0,00000001 = 0,00000098 Ответ: 0,00000098 = 9,8·10^-8

Пример 4

Что значит записать число 650 000 000 в стандартном виде?

Записать в стандартном виде — это представить число как произведение двух множителей. Для числа 650 000 000 эта запись будет такой: 650 000 000 = 6,5·10⁸

Сравнение стандартных чисел

Чтобы сравнить два числа, записанных в стандартном виде, нужно сравнивать:

1. Порядки чисел
2. При равных порядках — мантиссы

Правила сравнения такие:

• Если у числа порядок больше, то и само число больше
• Если порядки равны, то то число, у которого мантисса больше, является большим числом

Пример сравнения

Сравним числа: 3,2·103 и 2,71·103

1. Порядки чисел равны: 3
2. Сравниваем мантиссы: 3,2 и 2,71
3. 3,2 больше 2,71

Значит, число 3,2·103 больше числа 2,71·103

Применение стандартных чисел на практике

Запись чисел в стандартном виде часто применяется на практике при решении задач в разных областях. Рассмотрим основные примеры.

Стандартные числа в физике

В физических формулах и задачах приходится оперировать очень большими и очень малыми числами. Например, масса электрона составляет 9,1·10^-31 кг. Запись в стандартном виде позволяет легко производить вычисления с такими значениями.

Стандартные числа в химии

В химии также используются малые и большие числа, например постоянная Авогадро 6,02·10²³ моль^-1. Запись в стандартном виде упрощает вычисления с этими константами.

Стандартные числа в других областях

Помимо физики и химии, стандартные числа применяются в математике, информатике, биологии и других точных науках. Это позволяет записывать и сравнивать очень большие и очень малые числа, выполнять вычисления с ними.

Примеры задач со стандартными числами

Рассмотрим несколько примеров задач из разных областей, где используются стандартные числа.

Задача 1. Физика

Скорость света в вакууме составляет 2,99792458·108 м/с. Вычислите время, за которое свет пройдет расстояние 150 миллионов километров, если скорость света записана в стандартном виде.

Решение: Расстояние запишем как 1,5·108 км. Время = путь / скорость t = 1,5·108 км / 2,99792458·108 м/с Подставляя стандартные числа, получаем: t = (1,5 / 2,99792458) · 100 с = 5,002564103·10-1 с

Задача 2. Химия

Масса одного атома углерода составляет 1,993·10-26 кг. Вычислите количество атомов углерода в 100 г этого элемента, если масса атома выражена в стандартном виде.

Решение: Масса 100 г С - это 10-1 кг. Число атомов N = m / m0 Где m - масса вещества в кг, m0 - масса одного атома. Подставляя значения, получаем: N = 10-1 кг / 1,993·10-26 кг = 5,015·1024 атомов

Как видно из примеров, запись стандартными числами значительно упрощает вычисления.