Формулы вписанной и описанной окружности: полезны для расчета радиусов и не только

Геометрические фигуры хранят множество загадок. Круги и окружности используются повсеместно в науке, технике, искусстве. Давайте разберемся с формулами для вычисления радиусов вписанных и описанных окружностей. Эти знания пригодятся вам на практике.

Базовые понятия окружности

Для начала дадим определения основным терминам.

Окружность – замкнутая кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки (центра).
Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней.
Диаметр – отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки на окружности.

Окружность обладает полезными свойствами, используемыми во многих областях.

Например, форма колеса соответствует окружности, что позволяет автомобилю ехать плавно. В оптике линзы имеют сферическую форму благодаря свойствам окружности.

Вписанные и описанные окружности

Вписанная окружность – окружность, касающаяся всех сторон некоторого многоугольника. Центр такой окружности лежит внутри этого многоугольника.

Описанная окружность – окружность, все вершины которой лежат на данном многоугольнике. Ее центр располагается снаружи многоугольника.

Знание свойств вписанных и описанных окружностей помогает решать множество геометрических задач. Формулы радиусов таких окружностей часто применяются на практике.

Формулы радиусов вписанной и описанной окружности

Общий вид формул для вычисления радиусов вписанных r и описанных R окружностей:

S – площадь многоугольника
P – периметр многоугольника
a, b, c – стороны многоугольника

Для каждого конкретного вида многоугольника существуют свои формулы радиусов вписанных и описанных окружностей.

Треугольник

Радиус вписанной окружности	`r = S / P`
Радиус описанной окружности	`R = abc / 4S`

Рассмотрим пример вычисления радиуса для треугольника со сторонами 5, 7 и 10 см:

Находим площадь треугольника по формуле Герона: S = 14 см²
Вычисляем периметр: P = 5 + 7 + 10 = 22 см
Подставляем значения в формулу радиуса вписанной окружности: r = S / P = 14 / 22 = 1 см

Итак, радиус вписанной окружности равен 1 см.

Правильные многоугольники

Для правильных многоугольников формулы радиусов упрощаются:

Радиус вписанной окружности: r = a / (2⋅tan(180°/n))
Радиус описанной окружности: R = a / (2⋅sin(180°/n))

Где a – сторона правильного n-угольника.

Например, для правильного шестиугольника (n = 6) со стороной 10 см получим:

Радиус вписанной окружности: r = 10 / (2⋅tg(180°/6)) = 10 / √3 = 5 цм
Радиус описанной: R = 10 / (2⋅sin(180°/6)) = 10 / 1 = 5 см

Как видим, радиусы совпадают, что верно для всех правильных многоугольников.

Четырехугольники

Для разных видов четырехугольников также существуют свои формулы радиусов вписанных и описанных окружностей.

Квадрат

Радиус вписанной окружности: r = a / √2
Радиус описанной окружности: R = a / √2

Где a – сторона квадрата.

Прямоугольник

Радиус вписанной окружности	`r = S / (a + b)`
Радиус описанной окружности	`R = √((a + b)2 + c2) / 4`

Где a и b – стороны прямоугольника, c – его диагональ.

Параллелограмм

Для параллелограмма формулы радиусов аналогичны формулам для прямоугольника, но с заменой диагонали c на высоту h, опущенную на сторону a.

Ромб

Радиус вписанной окружности: r = a / √2
Радиус описанной окружности: R = d / 2

Где a – сторона ромба, d – его большая диагональ.

Трапеция

Для трапеции формулы радиусов вписанных и описанных окружностей громоздки, поэтому приводить их здесь не будем. Отметим лишь, что в эти формулы входят стороны, диагонали, углы и высоты трапеции.

Программы для расчета радиусов окружностей

Вычисление радиусов вручную по формулам может быть трудоемким. К счастью, существует множество бесплатных онлайн калькуляторов для расчета радиусов вписанных и описанных окружностей.

Достаточно ввести исходные данные многоугольника, и программа автоматически выдаст значения радиусов.

Применение формул радиусов окружностей

Рассмотрим несколько примеров использования формул радиусов вписанных и описанных окружностей на практике.

Проектирование объектов

При проектировании зданий, сооружений, технических объектов часто приходится иметь дело с окружностями и дугами. Знание соответствующих формул позволяет быстро рассчитать необходимые параметры.

Работа со спутниковыми снимками

Анализируя спутниковые снимки местности, ученые выделяют и исследуют различные объекты, в том числе имеющие форму окружности. Для определения их размеров используют формулы радиусов.

Обработка изображений

При компьютерной обработке изображений часто нужно распознавать круглые объекты, например монеты, колеса машин и так далее. Знание радиусов помогает классифицировать объекты по размерам.

Статистический анализ

Формулы радиусов применяются в статистике при анализе распределений со сферической симметрией. Например, модель нормального распределения использует понятие радиуса.