Какой отрезок называется высотой треугольника: общее определение

Высота треугольника - один из важнейших элементов этой геометрической фигуры. Давайте подробно разберемся, что же она из себя представляет.

Общее определение высоты треугольника

Итак, высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).

Другими словами, берем треугольник ABC. Возьмем, к примеру, вершину A. Проведем из этой вершины перпендикуляр на сторону BC (или на прямую, содержащую эту сторону). Полученный перпендикуляр и будет одной из высот треугольника.

Аналогично можно опустить перпендикуляры из других вершин. В итоге у нас будет три высоты:

• Первая высота опущена из вершины A на сторону BC
• Вторая высота опущена из B на сторону AC
• Третья высота опущена из C на сторону AB

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. Это важное свойство высот, на котором основано множество задач и теорем о треугольнике.

Иллюстрация определения высоты на примерах

Давайте проиллюстрируем общее определение высоты на конкретных примерах.

Высота в остроугольном треугольнике

В остроугольном треугольнике, где все углы острые, высоты лежат внутри самой фигуры:

Высота в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике одна из высот совпадает с катетом:

Высота правильного треугольника

В равностороннем (правильном) треугольнике все высоты равны между собой и являются также медианами и биссектрисами:

Как видите, определение высоты справедливо для любого типа треугольников. Это универсальное понятие, применимое ко всем случаям.

Связь высоты с другими элементами треугольника

Высота треугольника тесно связана с другими его элементами - сторонами, углами, площадью.

Связь высоты и сторон

Одна из главных связей высоты треугольника - это теорема о высоте, опущенной на гипотенузу. Она гласит:

Квадрат высоты, опущенной в прямоугольном треугольнике на гипотенузу, равен произведению катетов.

Это одно из базовых соотношений в геометрии треугольника, широко используемое на практике.

Связь высоты и углов

Высота треугольника позволяет находить величины внутренних углов. Например, по теореме косинусов:

где A - угол треугольника, a , b , c - длины соответствующих сторон, а h_c - высота, опущенная на сторону c .

Аналогичные формулы есть и для других элементов.

Связь высоты и площади

Высота непосредственно фигурирует в основной формуле для вычисления площади треугольника:

где S - площадь треугольника ABC, a - длина стороны BC, h_a - высота к ней из вершины A.

Как видим, высота и здесь играет ключевую роль.

Далее рассмотрим некоторые частные случаи высоты в специальных типах треугольников.

Особенности высоты в равностороннем треугольнике

Рассмотрим некоторые интересные особенности высоты правильного треугольника.

Как известно, в равностороннем (правильном) треугольнике все три стороны и все три угла равны.

Из этого следует, что высота правильного треугольника обладает дополнительными свойствами:

• Все три высоты такого треугольника равны
• Каждая высота делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника
• Высота совпадает с медианой и биссектрисой

Эти особенности часто используются при решении задач на правильный треугольник. Например, если дана одна высота, можно легко найти площадь или сторону такого треугольника.

Как найти высоту треугольника геометрическим путем

До сих пор мы говорили об абстрактном определении какого отрезка, который называется высотой треугольника. Но как ее построить на практике?

Существует несколько способов геометрического построения "высоты" к заданному треугольнику.

Построение высоты с помощью угольника

Возьмем угольник и одну из сторон треугольника. Прикладываем угольник к этой стороне так, чтобы одна из его сторон была параллельна другой стороне треугольника. Затем проводим прямую линию через вершину угла - это и есть искомая "высота треугольника".

Построение высоты циркулем и линейкой

Берем циркуль и одну из сторон треугольника. Отмечаем произвольную точку на этом отрезке и вычерчиваем дуги над его концами. Затем соединяем точки пересечения этих дуг - получаем "искомый отрезок, именуемый высотой".

Таким образом, найти "какую высоту" геометрически не составляет труда, зная основные приемы построения.

"Высота тупоугольного треугольника": интересные факты

Завершим нашу статью некоторыми любопытными фактами о "высоте тупоугольного треугольника".

• Одна из высот тупоугольного треугольника обязательно лежит вне самой фигуры
• Несмотря на это, произведение пред- и поствысот всегда одинаково для всех высот треугольника
• Это свойство используется в обратной теореме Пифагора для тупоугольного треугольника

Как видим, даже для такой простой на первый взгляд фигуры, как треугольник, тема "высоты" обладает множеством удивительных особенностей!