Вариньона теорема в геометрии: значение и применение

Теорема Вариньона - удивительное открытие в области геометрии, позволяющее существенно упростить решение множества задач, связанных с вычислением площадей и доказательством различных свойств четырехугольников. Давайте разберемся, в чем заключается эта теорема и насколько она может быть полезна на практике.

Краткая биография Пьера Вариньона

Пьер Вариньон - выдающийся французский математик и механик XVIII века. Он родился в 1654 году в городе Кан и получил блестящее по тем временам образование, окончив иезуитский коллеж и университет в Кане.

Изначально Вариньон готовился к духовной карьере, но увлекся математикой и механикой. Он внес вклад в разработку теории бесконечно малых величин, занимался вопросами геометрии, гидромеханики и физики.

Однако наиболее известна работа Вариньона в области теоретической механики. В 1687 году он представил трактат «Проект новой механики...», в котором сформулировал важнейшие положения о сложении и разложении сил. Эти идеи легли в основу современной статики.

В 1725 году вышла в свет книга Вариньона «Новая механика или статика» - первое систематическое изложение основ статики как науки. Здесь он подробно описал правила сложения моментов сил, которые сохранили актуальность до наших дней.

Формулировка теоремы Вариньона

Самой известной работой Пьера Вариньона в области геометрии является открытие удивительного свойства произвольного выпуклого четырехугольника:

Четырехугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон другого четырехугольника, всегда является параллелограммом.

Этот факт получил название теоремы Вариньона. Давайте разберемся в ее доказательстве и следствиях.

Доказательство теоремы Вариньона

Пусть дан произвольный выпуклый четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ AC и найдем середины сторон этого четырехугольника - точки E, F, G и H.

Соединим эти точки, получится четырехугольник EFGH. Докажем, что он является параллелограммом:

1. Рассмотрим треугольник AEC, в котором EH - средняя линия
2. Аналогично, в треугольнике BDC отрезок FG является средней линией
3. По свойствам средней линии, EH параллельно AC и FG параллельно BD
4. Значит, противоположные стороны четырехугольника EFGH попарно параллельны
5. По определению параллелограмма, EFGH - параллелограмм

Теорема Вариньона доказана.

Следствия

Из теоремы Вариньона вытекает несколько важных следствий:

• Параллелограмм EFGH называют параллелограммом Вариньона или вариньоновским параллелограммом
• Его площадь всегда равна половине площади исходного четырехугольника ABCD
• Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей четырехугольника ABCD
• Если ABCD - прямоугольник или ромб, то параллелограмм Вариньона - соответственно ромб или прямоугольник

Давайте рассмотрим, как можно использовать теорему Вариньона и ее следствия при решении геометрических задач.

Применение в геометрических задачах

Теорема Вариньона позволяет существенно упростить решение множества задач, связанных с вычислением площадей и периметров четырехугольников, а также доказательством их различных свойств.

Пример 1. Вычисление площади четырехугольника

Дан четырехугольник ABCD с известными длинами диагоналей AC = 5 см и BD = 6 см. Найти площадь этого четырехугольника.

Решение

Построим параллелограмм Вариньона EFGH. Согласно теореме равна половине площади исходного четырехугольника ABCD. По формуле площади параллелограмма, S_EFGH = (1/2)AC x BD = (1/2) x 5 см x 6 см = 15 кв.см.

Значит, площадь четырехугольника ABCD равна: S_ABCD = 2S_EFGH = 2 x 15 кв.см = 30 кв.см.

Ответ: 30 кв.см.

Как видно из решения, использование теоремы Вариньона позволило очень просто и быстро найти искомую площадь четырехугольника через длины его диагоналей.

Пример 2. Вычисление периметра

Используя теорему Вариньона, можно также легко вычислить периметр произвольного выпуклого четырехугольника, зная лишь длины его диагоналей.

Рассмотрим четырехугольник ABCD с диагоналями AC = 7 см и BD = 8 см. Требуется найти периметр этого четырехугольника.

Решение:

По одному из следствий теоремы Вариньона, периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырехугольника:

P_EFGH = AC + BD = 7 см + 8 см = 15 см

Поскольку стороны параллелограмма Вариньона в 2 раза меньше сторон четырехугольника ABCD, то:

P_ABCD = 2P_EFGH = 2·15 см = 30 см

Ответ: периметр четырехугольника ABCD равен 30 см.

Пример 3. Доказательство свойств четырехугольника

Теорему и следствия Вариньона также можно использовать для доказательства различных свойств четырехугольника. Рассмотрим такую задачу:

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Доказать, что его диагонали пересекаются под прямым углом.

Решение:

Построим параллелограмм Вариньона EFGH. Из условий задачи следует, что этот параллелограмм является прямоугольником (см. следствие из теоремы Вариньона).

Но диагонали прямоугольника всегда перпендикулярны по определению.

Значит, диагонали AC и BD исходного четырехугольника ABCD также перпендикулярны.

Олимпиадные задачи

Рассмотрим несколько задач повышенной сложности, в которых применение теоремы Вариньона также позволяет существенно сэкономить время на решение.

Задача 1

Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны, то его углы равны.

Решение:

Построим параллелограмм Вариньона. По следствию из теоремы, этот параллелограмм будет прямоугольником (так как диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны).

Но в прямоугольнике все углы равны прямым. Значит, и углы исходного четырехугольника равны.

Задача 2

В четырехугольнике ABCD проведены биссектрисы углов A и C. Докажите, что эти биссектрисы пересекают стороны BD и AD в серединах.

Решение:

Пусть биссектрисы пересекают BD и AD в точках K и M соответственно. Рассмотрим треугольник AKM:

• Угол MAK равен углу A (как вертикальные)
• Угол AKM равен половине угла B (так как AK - биссектриса)
• Значит, треугольник AKM - равнобедренный, а M - середина AD

Аналогично доказывается, что K - середина BD. Теорема доказана.