В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90 градусов: находим длины сторон

Как найти длину гипотенузы и других сторон прямоугольного треугольника ABC, если известен только один параметр? В этой статье рассмотрим пошагово все методы.

Теорема Пифагора для нахождения гипотенузы

Основная формула для вычислений в прямоугольном треугольнике - это знаменитая теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обозначим стороны треугольника буквами: АВ - гипотенуза, ВС и АС - катеты. Тогда по теореме Пифагора:

AB² = BC² + AC²

Это позволяет найти гипотенузу АВ, если известны длины обоих катетов:

AB = √(BC² + AC²)

Или один катет, например ВС:

AB = √(BC² + (AB² - BC²))

Рассмотрим на примере с катетами длиной 5 и 12 см:

1. BC = 5 см
2. AC = 12 см
3. AB² = BC² + AC² = 25 + 144 = 169
4. AB = √169 = 13 см

Чтобы не запутаться в формулах при решении задач, запомните: сначала подставляем значения в уравнение Пифагора, затем вычисляем гипотенузу как квадратный корень от полученной суммы квадратов.

Тригонометрические соотношения для нахождения углов

Если нам даны длины двух сторон треугольника, то через тригонометрические функции можно найти углы.

Возьмем для примера прямоугольный треугольник ABC с катетами длиной 5 и 12 сантиметров. Гипотенуза равна 13 см (вычислили по теореме Пифагора).

Чтобы определить острый угол A, воспользуемся тангенсом:

tgA = AC/BC

Подставляем значения длин сторон:

tgA = 12/5 = 2,4

Из таблицы тангенсов находим, что при tgA = 2,4 угол A равен 67 градусам.

Вычисление углов через арксинус, арккосинус и арктангенс

Помимо тангенса, для нахождения углов треугольника используют обратные тригонометрические функции:

• арксинус - arcsin
• арккосинус - arccos
• арктангенс - arctg

Рассмотрим их применение на примере. Длина катета bc = 5 см, гипотенузы ab = 10 см.

Через отношение катета к гипотенузе вычислим угол В:

cosB = bc/ab = 5/10 = 0,5

Определяем угол В через арккосинус:

B = arccos(0,5) = 60 градусов

Теорема синусов для вычисления сторон

Еще один мощный инструмент для изучения прямоугольного треугольника - теорема синусов:

а/синА = b/sinB = c/sinC

Где а, b, c - стороны, A, B, C - углы треугольника.

Это позволяет находить любую сторону через две другие и угол между ними. К примеру, через катет bc = 7 см, угол В = 30 градусов и теорему синусов:

ab/sinA = bc/sinB

ab = bc * sinA/sinB = 7 * sin90°/sin30° = 14 см

Метод биссектрисы для определения высоты

Определим теперь высоту прямоугольного треугольника через длины катетов и угол между ними с помощью метода биссектрисы.

Итак, имеем прямоугольный треугольник ABC с углом c 90 градусов. Катет bc = 5 см, катет ac = 12 см. Угол A между катетами равен 37 градусов (вычислили ранее).

Проведем из угла A биссектрису. Она делит этот угол пополам. Значит, угол между катетом ac и биссектрисой равен 18,5°.

Используем теорему синусов для треугольника ACE:

ac / sinA = ae / sin18,5°

ae = ac * sin18,5° / sinA = 12 * sin18,5° / sin37° = 8 см

Получили, что высота ae треугольника abc равна 8 см.

Определение площади

Зная стороны и углы прямоугольного треугольника, легко найти его площадь.

В нашем случае имеем:

• bc = 5 см
• ac = 12 см
• ae = 8 см (высота)

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на соответствующий катет:

S = (1/2)*ae*ac = (1/2)*8*12 = 48 кв. см

Нахождение угла между высотой и медианой

Рассмотрим следующую задачу. В прямоугольном треугольнике ABC с углом C 90 градусов известны длины катетов: AB = 6 см, BC = 8 см. Найдем угол между высотой и медианой, проведенными к гипотенузе.

Вычислим сначала длину гипотенузы AC по теореме Пифагора:

AC = √(AB^2 + BC^2) = √(36 + 64) = √100 = 10 см

Теперь найдем длину медианы CD, проведенной к гипотенузе. Она делит гипотенузу пополам, следовательно:

CD = AC / 2 = 10 / 2 = 5 см

Длина высоты CE равна:

CE = √(BC^2 - (CD^2 / 2)) = √(64 - 25 / 2) = √64 - 12,5 = √51,5 = 7,2 см

Используя теорему косинусов, определяем искомый угол CDE:

cosCDE = (CD^2 + CE^2 - AC^2) / (2*CD*CE) = 0,6

Из таблицы находим, что при cos = 0,6 угол CDE равен 53 градусам.