Перпендикуляр — это что такое? Определение и свойства этой геометрической фигуры

Перпендикуляр является одним из фундаментальных понятий геометрии. От того, насколько четко мы представляем себе, что такое перпендикуляр, зависит понимание многих важных геометрических фактов и умение решать задачи. Давайте разберемся, что представляет собой перпендикуляр, как его строить и для чего он используется.

Определение перпендикуляра

Начнем с самого простого - определения понятия "перпендикуляр". В геометрии различают перпендикулярные прямые и перпендикулярные плоскости. Давайте последовательно разберем эти понятия.

Перпендикулярные прямые

Перпендикулярными называются две прямые, которые образуют при пересечении четыре прямых угла. Обозначается перпендикулярность знаком ⟂. Например: a ⟂ b - прямая а перпендикулярна прямой b.

Из определения перпендикулярных прямых следует, что они лежат в одной плоскости.

Рассмотрим на примере перпендикулярные прямые:

Здесь прямые а и b пересекаются под прямым углом, значит они перпендикулярны.

Перпендикуляр к прямой

Часто приходится строить перпендикуляр не ко всей прямой, а只 к какой-то ее части. Например, провести перпендикуляр к прямой из заданной точки. В этом случае дается следующее определение:

Перпендикуляром к прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов точку пересечения этих прямых.

Здесь отрезок АВ является перпендикуляром к прямой с, так как один его конец В лежит на прямой с, а сам отрезок АВ перпендикулярен прямой с.

Перпендикуляр к плоскости

Аналогично вводится понятие перпендикуляра к плоскости:

Перпендикуляром к плоскости называется прямая, перпендикулярная ко всем прямым, лежащим в этой плоскости.

То есть если прямая перпендикулярна хотя бы одной прямой, лежащей в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.

На рисунке показан перпендикуляр РК к плоскости α:

Так как отрезок РК перпендикулярен прямой t, лежащей в плоскости α, то отрезок РК является общим перпендикуляром к плоскости α.

Построение перпендикуляра к прямой

Рассмотрим основные способы построения перпендикуляра к прямой:

С помощью циркуля
С помощью транспортира
С помощью чертежного треугольника

Построение перпендикуляра с помощью циркуля

Этот способ основан на свойстве касательной к окружности. Из точки Р, в которой нужно построить перпендикуляр, проводим произвольную окружность, пересекающую прямую в точках A и B. Затем из точки Р проводим касательные к этой окружности и находим точку их пересечения Q. Отрезок PQ как раз и является искомым перпендикуляром:

Такой способ удобен при построениях с помощью циркуля и линейки.

Построение перпендикуляра транспортиром

Если нужно построить перпендикуляр с помощью транспортира, то все просто - откладываем от точки Р угол 90°:

Этот способ самый быстрый, но требует наличия транспортира.

Построение перпендикуляра с помощью чертежного треугольника

Чертежный треугольник также позволяет легко построить перпендикуляр. Для этого одну из его сторон, образующих прямой угол, прикладываем к прямой, а другую сторону этого угла совмещаем

Полученный отрезок РК будет перпендикуляром к данной прямой.

Такой способ прост и нагляден, позволяет обойтись без измерительных инструментов.

Применение перпендикуляра

Теперь, когда мы разобрали, что такое перпендикуляр и как его строить, давайте рассмотрим, где и для чего он применяется.

Высота треугольника

Одно из основных применений перпендикуляра - это построение высоты треугольника. Согласно определению:

Высотой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с прямой, содержащей противоположную сторону (или ее продолжение) и перпендикулярной этой стороне.

Как видим, высота треугольника является частным случаем перпендикуляра, построенного из вершины к противоположной стороне. Высота имеет важное геометрическое свойство - все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.

Вычисление площади треугольника

Еще одно важное применение высоты треугольника - вычисление его площади. По теореме, площадь треугольника равна произведению длины одной из его сторон на высоту, проведенную к этой стороне, деленному на 2:

Эта формула широко используется на практике для вычислений.

Применение в стереометрии

Понятие перпендикуляра широко используется также в стереометрии - разделе геометрии, изучающем фигуры в пространстве.

Рассмотрим некоторые примеры.

Перпендикулярность прямой и плоскости

В пространстве прямая может быть перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна хотя бы одной прямой, лежащей в этой плоскости. Это обобщение понятия перпендикулярности с плоскости на пространство.

Призма и пирамида

У призмы и пирамиды боковые грани перпендикулярны основаниям. Это одно из важных свойств этих многогранников.

Ортогональное проецирование

В черчении широко используется ортогональное проецирование - построение проекций фигуры на плоскости, перпендикулярные ее ребрам или граням. Это позволяет по двум проекциям восстановить форму фигуры в пространстве.