Тангенс в прямоугольном треугольнике: формула и применение

Прямоугольный треугольник является одной из фундаментальных геометрических фигур. От соотношения длин его сторон и величины углов зависит решение множества практических задач в геометрии, физике, инженерии. Важнейшей характеристикой прямоугольного треугольника является тангенс его острого угла. Давайте разберемся, что это такое, откуда берется формула тангенса и где ее можно применить.

1. Определение тангенса в прямоугольном треугольнике

Напомним, что такое прямоугольный треугольник. Это треугольник, у которого один из углов равен 90° (прямой угол). Две стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами , а сторона, лежащая напротив прямого угла – гипотенузой .

Для связи между элементами прямоугольного треугольника используются три тригонометрические функции:

• Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе
• Косинус острого угла равен отношению прилегающего катета к гипотенузе
• Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилегающему

Поэтому формальное определение тангенса в прямоугольном треугольнике таково:

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению длины противолежащего катета к длине прилегающего катета.

Из определений синуса и косинуса можно также вывести формулу тангенса :

tgα = sinα / cosα

Важно, что тангенс зависит только от угла α, но не от соотношения сторон треугольника. Поэтому для прямоугольных треугольников с равными углами тангенсы этих углов будут одинаковы.

2. Нахождение тангенса в прямоугольном треугольнике

Как найти тангенс в прямоугольном треугольнике? Все зависит от того, какие элементы треугольника нам известны.

Если известны длины обоих катетов a и b , то тангенс острого угла α находится простым делением одного катета на другой:

tgα = b / a

Если же известна, например, длина гипотенузы c и один из острых углов β, то сначала по таблицам значений тригонометрических функций находим sinβ и cosβ, а затем вычисляем тангенс по формуле:

tgβ = sinβ / cosβ

Рассмотрим несколько примеров вычисления тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.

Во-первых, в треугольниках со стандартными углами 30°, 45° и 60° тангенсы этих углов являются известными константами:

• tg30° = 1/√3
• tg45° = 1
• tg60° = √3

Эти значения полезно запомнить.

Далее, пусть дан прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5. Требуется найти тангенс острого угла. По формуле получаем:

tgα = 12 / 5 = 2,4

И наконец, пусть гипотенуза равна 13, а один из острых углов составляет 30°. Тогда:

sin30° = 0,5

cos30° = √3/2

tg30° = sin30° / cos30° = 1/√3

Тангенс угла 30° в прямоугольном треугольнике всегда равен 1/√3, как мы и запомнили ранее.

Свойства тангенса в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим некоторые важные свойства тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.

Во-первых, поскольку тангенс есть отношение длин двух положительных отрезков (катетов), то тангенс острого угла всегда является положительным числом.

Во-вторых, для дополнительных углов справедливо соотношение: tg(90° - α) = 1 / tgα. То есть тангенсы дополнительных углов являются взаимно обратными.

Кроме того, существуют формулы приведения для нахождения тангенса суммы и разности двух углов через тангенсы этих углов.

На координатной плоскости графиком функции y = tgx является периодическая кривая с вертикальными асимптотами в точках кратных π/2. Этот график также полезно знать при решении определенного класса задач.

Тангенсы стандартных углов

Рассмотрим значения тангенсов для некоторых стандартных и часто встречающихся в задачах углов. В таблице приведены приближенные значения тангенсов углов от 0 до 90 градусов:

Эти значения важно знать и уметь использовать при нахождении тангенсов в прямоугольных треугольниках со стандартными углами.

Теперь перейдем к более сложным, но практически важным вопросам применения тангенса в различных областях - геодезии, строительстве, физике и других точных науках.

Применение тангенса на практике

Одна из важнейших областей, где используется понятие тангенса острого угла, - это геодезические измерения и построение топографических карт местности. Зная расстояние от наблюдателя до некоторой точки на склоне, а также угол наклона, можно вычислить высоту этой точки относительно уровня наблюдателя. И тут необходимо использовать формулу с тангенсом.

Тангенс в других областях науки и техники

Концепция тангенса угла в прямоугольном треугольнике применяется далеко за пределами геометрии. Например, в физике тангенс используется при описании колебательного движения, волн, электромагнитных явлений.

Применение тангенса в геодезии

Давайте подробнее разберем, как используется тангенс при геодезических измерениях. Пусть требуется определить высоту некоторой точки С над поверхностью земли (точка А). Измерив расстояние АС и угол наклона α, можно найти искомую высоту СВ по формуле:

СВ = АС * tgα

Таким образом, зная длину горизонтальной проекции отрезка и угол его наклона, легко рассчитать истинную длину отрезка с помощью тангенса.

Тангенс в строительстве и архитектуре

Еще одна важная сфера применения тангенса - это строительство и архитектура. Например, для расчета необходимой длины опор, пандусов, лестниц нужно знать угол их наклона. А длину с использованием тангенса этого угла можно легко посчитать по той же формуле.

Тангенс в судостроении

В судостроении, при проектировании и постройке кораблей, лодок и яхт, важнейшим параметром является угол килевой качки - наклона судна относительно вертикали. Этот угол напрямую влияет на остойчивость судна. И здесь также применяют расчеты с использованием тангенса угла.

Тангенс в физике

Упомянем еще раз о важной роли тангенса в физике. Например, при исследовании электромагнитных колебаний часто используется понятие тангенса угла сдвига фаз между током и напряжением. А в оптике тангенс применяется при описании законов преломления света.

Тангенс в программировании

Наконец, отметим использование тригонометрических функций и тангенса в программировании. Во многих языках программирования есть встроенные функции для вычисления sin, cos, tg и ctg углов. Это позволяет легко осуществлять тригонометрические расчеты в программном коде.