Доверительный интервал для математического ожидания: разбираем теорию и практику
Математическая статистика предоставляет инструменты для обоснованных выводов о генеральной совокупности по данным выборки. Одним из таких важных инструментов является доверительный интервал - интервальная оценка неизвестного параметра распределения с заданной вероятностью. В этой статье мы подробно разберем доверительные интервалы для оценки математического ожидания.
Теоретические основы доверительных интервалов
Доверительный интервал - это интервал, в который с некоторой заданной вероятностью попадает истинное значение оцениваемого параметра. Эта вероятность называется доверительной вероятностью или надежностью доверительного интервала.
Чем выше доверительная вероятность, тем надежнее получаемый доверительный интервал, но при этом он становится шире. Поэтому при выборе доверительной вероятности ищут компромисс между надежностью и точностью оценки.
Для построения доверительного интервала используется распределение Стьюдента - оно позволяет оценить вероятность попадания в интервал истинного значения параметра.
Доверительный интервал при известной дисперсии
Если дисперсия генеральной совокупности известна, доверительный интервал для математического ожидания строится по формуле:
где t1-α/2 - квантиль распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы.
Доверительный интервал при неизвестной дисперсии
Если дисперсия неизвестна, используется ее оценка по выборке - доверительный интервал имеет вид:
где s - выборочное среднеквадратичное отклонение.
В этом случае распределение Стьюдента зависит только от объема выборки.
Влияние объема выборки
С ростом объема выборки доверительный интервал сужается, оценка становится точнее. На практике берут выборки объемом не менее 30 наблюдений.
Основные этапы построения
- Выбрать доверительную вероятность (обычно 0.95 или 0.99)
- Найти квантиль Стьюдента по таблице
- Вычислить границы интервала по формуле
Правильный расчет доверительного интервала позволяет получить обоснованную оценку математического ожидания.
Далее рассмотрим практические примеры применения доверительных интервалов.
Практическое применение доверительных интервалов
Рассмотрим несколько примеров применения доверительных интервалов для оценки математического ожидания в практических задачах.
Пример 1
Имеется выборка объемом n=25 из генеральной совокупности с нормальным распределением. Выборочное среднее равно 152, выборочная дисперсия составляет 225. Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью 0.95.
Решение:
- Зададим доверительную вероятность γ = 0.95.
- Найдем квантиль распределения Стьюдента с n-1 = 24 степенями свободы. По таблице получаем t0.975 = 2.064.
- Подставляем в формулу доверительного интервала при известной дисперсии: (152 ± 2.064·√225/25) = (152 ± 6.48).
Итого, с вероятностью 0.95 математическое ожидание лежит в интервале (145.52, 158.48).
Пример 2
Имеется выборка объемом n=40 из генеральной совокупности с нормальным распределением. Выборочное среднее равно 68, выборочное среднеквадратичное отклонение равно 12. Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью 0.99.
Решение:
- Зададим доверительную вероятность γ = 0.99.
- Найдем квантиль распределения Стьюдента с n-1 = 39 степенями свободы. По таблице получаем t0.995 = 2.423.
- Подставляем в формулу доверительного интервала при неизвестной дисперсии: (68 ± 2.423·12/√40) = (68 ± 3.815).
Итого, с вероятностью 0.99 математическое ожидание лежит в интервале (64.185, 71.815).
Пример 3
Проводится опрос 100 респондентов. Средняя оценка качества обслуживания составила 4.2 балла, среднеквадратичное отклонение - 1.5 балла. Требуется оценить среднее качество обслуживания для всей генеральной совокупности клиентов с доверительной вероятностью 0.95.
Решение аналогично предыдущим примерам. Получаем доверительный интервал (4.02, 4.38). Таким образом, с вероятностью 0.95 средняя оценка качества обслуживания всей совокупности клиентов лежит в интервале от 4.02 до 4.38 балла.