Синус, косинус, тангенс и котангенс: как понять тригонометрию?
Тригонометрия изучает соотношения между сторонами и углами в треугольнике. Основными тригонометрическими функциями являются синус, косинус, тангенс и котангенс угла. В этой статье объясняется, что они обозначают в прямоугольном треугольнике, приводятся формулы для вычисления и решаются задачи ЕГЭ.
Понимание тригонометрических функций важно как для сдачи экзамена, так и для дальнейшего изучения математики и ее применения. Поэтому в статье подробно разбираются определения, формулы, а также решение задач step-by-step.
Читая эту статью и решая предложенные задачи, вы сможете разобраться в основах тригонометрии и подготовиться к сдаче ЕГЭ по математике.
Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла
Давайте начнем с определения синуса, косинуса и тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Обозначим стороны: BC = a, AC = b, AB = c.
Синус острого угла A равен отношению противолежащего катета b к гипотенузе c: sin A = b/c.
Косинус острого угла A равен отношению прилежащего катета a к гипотенузе c: cos A = a/c.
Тангенс острого угла A равен отношению противолежащего катета b к прилежащему катету a: tg A = b/a.
Котангенс острого угла A равен отношению прилежащего катета a к противолежащему катету b: ctg A = a/b.
Таким образом, зная стороны прямоугольного треугольника, можно найти значения тригонометрических функций любого острого угла. Эти определения лежат в основе всей тригонометрии.
Основные формулы и тождества
Рассмотрим основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла:
- sin^2 A + cos^2 A = 1
- tg A · ctg A = 1
- sin A = cos (90° - A)
- cos A = sin (90° - A)
- tg A = ctg (90° - A)
Эти формулы выводятся из определений тригонометрических функций и соотношений между сторонами в прямоугольном треугольнике. Например, по теореме Пифагора:
- c^2 = a^2 + b^2
- где c - гипотенуза, a и b - катеты.
Подставив сюда выражения через sin, cos, tg:
- c^2 = a^2 + b^2
- (cos A)^2 + (sin A)^2 = 1
- откуда и получаем: sin^2 A + cos^2 A = 1.
Аналогично выводятся и другие тождества. Запомнить эти формулы очень важно, они часто используются при решении задач с применением тригонометрии.
Таблица значений тригонометрических функций
Для нахождения значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса конкретных углов используются специальные таблицы значений тригонометрических функций. Рассмотрим фрагмент такой таблицы:
| Угол | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| Синус | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| Косинус | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| Тангенс | 0 | √3/3 | 1 | √3 | - |
| Котангенс | - | √3/3 | 1 | √3/3 | 0 |
Как видно из таблицы, синус, косинус и тангенс принимают разные значения для разных углов. При вычислениях это позволяет по известному углу определять значения его тригонометрических функций. А по известным значениям sin, cos, tg найти сам угол.
Доказательство теоремы о равенстве тригонометрических функций равных углов
Для доказательства этой важной теоремы рассмотрим два прямоугольных треугольника АВС и A1B1C1 с равными острыми углами ∠А = ∠A1. Пусть
- a, b, c - стороны треугольника ABC
- a1, b1, c1 - стороны треугольника A1B1C1
- h, h1 - высоты, опущенные из вершин углов A и A1 на гипотенузы c и c1
Тогда по определению:
| sin A = | sin A1 = |
| cos A = | cos A1 = |
| tg A = | tg A1 = |
Из пропорций, составленных для высот h и h1, имеем:
Применение тригонометрии для решения задач ЕГЭ
Тригонометрические формулы широко применяются при решении задач ЕГЭ по математике. Рассмотрим несколько примеров.
Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен 30°, BC = 6. Найдите AB.
Решение. Поскольку угол С равен 30°, а ВС = 6, то АВ = 2BC = 2·6 = 12 (в треугольнике с углом 30° гипотенуза в 2 раза больше катета).
Задача 2. В равнобедренном треугольнике с основанием 12 высота равна 6. Найдите боковую сторону.
Решение. Поскольку треугольник равнобедренный, а высота равна половине основания, то боковая сторона равна 6 (в треугольнике с углом 60° гипотенуза в 2 раза больше катета).
Задача 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, один из катетов равен 6. Найдите второй катет.
Решение. По теореме Пифагора: c^2 = a^2 + b^2, где с - гипотенуза, а и b - катеты. Подставляя значения, получаем: 10^2 = 6^2 + b^2, откуда b = 8.
Задача 4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 10 и 14, а боковая сторона равна 7.
Решение. Разделим трапецию на два треугольника. В одном из них основание равно 7, боковая сторона равна 10, угол при основании равен 60°. По формуле S = (ab·sinα)/2 находим площадь этого треугольника равной 35. Тогда площадь трапеции равна 2·35 = 70.
Специальные треугольники с углами 30, 45 и 60 градусов
Рассмотрим некоторые важные соотношения в треугольниках, имеющих углы 30°, 45° или 60°.
1) Треугольник с углом 30°.
- Гипотенуза в 2 раза больше катета, лежащего напротив этого угла.
- Другой катет равен половине гипотенузы.
- sin 30° = cos 60° = 0,5
- cos 30° = sin 60° = 0,866
- tg 30° = 0,577, ctg 30° = 1,732
2) Треугольник с углом 45° - равнобедренный.
- Гипотенуза равна катету.
- sin 45° = cos 45° = 0,707
- tg 45° = 1, ctg 45° = 1
3) Треугольник с углом 60° - равносторонний.
- Все стороны равны.
- sin 60° = cos 30° = 0,866
- cos 60° = sin 30° = 0,5
- tg 60° = 1,732, ctg 60° = 0,577
Решение задач на применение теоремы Пифагора и тригонометрических формул
Рассмотрим примеры задач ЕГЭ, в которых для нахождения элементов треугольника используется как теорема Пифагора, так и тригонометрические соотношения.
Задача 1. В прямоугольном треугольнике один катет равен 12, второй катет равен 5. Найдите гипотенузу.
Решение. По теореме Пифагора: c^2 = a^2 + b^2, где c - гипотенуза, а и b - катеты. Подставляя значения катетов, получаем: c^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169. Из этого c = 13.
Задача 2. В треугольнике два угла равны соответственно 40° и 50°. Найдите третий угол.
Решение. Сумма углов треугольника равна 180°. Значит, третий угол равен: 180° - 40° - 50° = 90°.
Задача 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20, один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.
Решение. Этот катет равен половине гипотенузы (в треугольнике с углом 30°). Поэтому его длина равна 10.
Вычисление площадей треугольников с использованием тригонометрии
Для вычисления площади треугольника по двум сторонам a, b и углу между ними α используется формула:
S = (ab · sinα) / 2
Рассмотрим примеры.
Задача 1. В треугольнике две стороны равны 6 и 8, угол между ними равен 40°. Найдите площадь треугольника.
Решение. Подставляя значения в формулу, получаем:
S = (6 · 8 · sin40°) / 2 = 24 · 0,64 = 15,36.
Ответ: 15,36.
Задача 2. Основание равнобедренной трапеции равно 10, боковые стороны - 5, угол при основании 60°. Найдите площадь трапеции.
Решение. Разделим трапецию на 2 равных треугольника. В каждом из них основание 5, боковая сторона 10, угол при основании 60°. По формуле находим площадь одного треугольника:
S = (5 · 10 · sin60°) / 2 = 25 · 0,866 = 21,65.
Площадь трапеции в 2 раза больше, значит, равна 2 · 21,65 = 43,3.
Практические рекомендации по изучению темы
Для эффективного изучения тригонометрии рекомендуется:
- Выучить определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.
- Запомнить основные тригонометрические тождества.
- Решить множество задач на применение формул для вычисления элементов прямоугольного треугольника.
- Усвоить соотношения в треугольниках со специальными углами 30°, 45°, 60°.
- Научиться вычислять площади треугольников с использованием тригонометрических формул.
Полезно составить собственный справочник по тригонометрии, куда включить основные определения, формулы, теоремы. Также рекомендуется запомнить значения тригонометрических функций для наиболее распространенных углов.
Ключ к успеху - регулярная практика решения задач разных уровней сложности. Чем больше качественных упражнений будет решено, тем лучше будет освоена тема.
Дополнительные материалы для подготовки к ЕГЭ по математике
Для успешной подготовки к ЕГЭ по математике рекомендуется использовать разнообразные образовательные ресурсы.
1. Сайты с открытым доступом к материалам ЕГЭ прошлых лет, тренировочным тестам, ответам и решениям.
2. Видеоуроки по темам школьной программы - наглядное объяснение материала с примерами решения задач.
3. Специализированные пособия с теорией, примерами, задачами различной сложности по каждой теме.
4. Онлайн-курсы подготовки к ЕГЭ - структурированные программы с проверкой знаний.
5. Мобильные приложения для тренировки навыков решения задач по математике в удобном формате.
6. Пробные экзамены в режиме онлайн для отработки техники выполнения заданий в условиях ограниченного времени.
Использование комбинации таких ресурсов в сочетании с качественной самоподготовкой - залог успешной сдачи экзамена.