Движение под углом: как горизонт меняет траекторию

Движение под углом к горизонту. Когда тело бросают под углом к горизонту, его движение становится достаточно сложным для анализа. В отличие от вертикального броска, траектория полета не является прямой линией. При горизонтальном броске тело движется равномерно и прямолинейно. Но как только появляется угол между направлением броска и горизонтом, все усложняется.

Чтобы разобраться в особенностях такого движения, нужно проанализировать его составляющие. Разложим вектор скорости на горизонтальную и вертикальную проекции. Тогда станет понятно, как каждая из них влияет на траекторию.

В этой статье мы подробно рассмотрим физику полета тела, брошенного под углом к горизонту. Выведем основные формулы для расчета характеристик движения. И разберем несколько примеров с пошаговым решением типовых задач.

Уравнение траектории

Когда тело бросают под углом к горизонту, его движение можно разложить на две составляющие - по горизонтали и по вертикали. По горизонтали тело движется равномерно и прямолинейно, а по вертикали - равноускоренно. Исходя из этого, можно записать уравнения движения:

• Движение по горизонтали: движение под углом к горизонту = v0*cosα*t
• Движение по вертикали: y = v0*sinα*t - g*t2/2

Подставив выражение для времени из уравнения движения по горизонтали в уравнение движения по вертикали, получим уравнение траектории:

y = (v02*sin2α)/(2g*x) - x*g/(2*v0*2cos2α)

Время и высота подъема

При движении тела, брошенного под углом к горизонту, можно выделить два этапа: подъем и падение. На этапе подъема вертикальная составляющая скорости тела «v0»sinα постепенно уменьшается из-за действия силы тяжести. В наивысшей точке траектории она обращается в ноль.

Время, за которое тело поднимается от точки броска до наивысшей точки, называется временем подъема t(под). Оно может быть найдено из уравнения движения по вертикали, приравняв выражение для вертикальной скорости к нулю:

t(под) = (v0*sinα)/g

Зная время подъема, можно определить максимальную высоту h(макс), на которую поднимется тело. Для этого подставляем найденное выражение для t(под) в формулу высоты подъема:

h(макс) = (v02*sin2α)/(2g)

Таким образом, максимальная высота подъема зависит от начальной скорости v0 и угла броска α. Чем больше эти величины, тем выше поднимется тело. Ускорение свободного падения «g» при этом играет сдерживающую роль - чем оно больше, тем ниже будет максимальная высота.

На этапе падения тело движется ускоренно вниз под действием силы тяжести. Время падения всегда равно времени подъема, поскольку высота подъема и падения одинаковы, а ускорение свободного падения постоянно и направлено вертикально вниз. Поэтому общее время полета t(пол) вычисляется удвоением времени подъема:

t(пол) = 2*t(под)

Зная время и высоту подъема, можно полностью описать траекторию тела, брошенного под углом к горизонту «движение под углом к горизонту». Эти параметры позволяют рассчитать положение тела в любой момент времени.

Дальность полета

Дальность полета - это расстояние по горизонтали от точки броска до точки приземления тела, брошенного под углом к горизонту «движение под углом к горизонту». Обозначим дальность полета буквой L.

Для нахождения дальности полета воспользуемся тем, что движение тела по горизонтали равномерное. Следовательно, за время полета t(пол) тело проходит по горизонтали путь:

L = v0x * t(пол)

где v0x - горизонтальная составляющая начальной скорости, равная:

v0x = v0 * cosα

А время полета t(пол), как мы вывели ранее:

t(пол) = 2 * t(под) = 2 * (v0sinα)/g

Подставляя эти выражения в формулу для дальности полета, получаем:

L = v0cosα * 2 * (v0sinα)/g = (v02sin2α)/g

Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при угле броска α = 45°, когда sin2α = 1. Это объясняется тем, что при меньших углах горизонтальная составляющая скорости больше, но меньше время полета, а при больших углах, наоборот, больше время, но меньше горизонтальная скорость. При угле 45° достигается оптимальное соотношение этих величин.

Зная начальную скорость, угол броска и ускорение свободного падения, можно рассчитать дальность полета тела, брошенного под произвольным углом к горизонту.

Модуль ускорения и скорости

При движении тела, брошенного под углом к горизонту «движение под углом к горизонту», на него действует только одна сила - сила тяжести. Она направлена вертикально вниз и ее величина (ускорение свободного падения g) не меняется.

Следовательно, модуль ускорения тела при движении под углом к горизонту также не меняется и равен ускорению свободного падения:

|a| = g = const

Что касается скорости, то ее модуль изменяется по мере движения тела. Мгновенное значение скорости можно найти из теоремы Пифагора, разложив вектор скорости на горизонтальную и вертикальную составляющие:

v = √(vx2 + vy2)

где vx - горизонтальная составляющая скорости, а vy - вертикальная. Горизонтальная составляющая постоянна:

vx = v0x = v0cosα

А вертикальная составляющая меняется согласно уравнению движения тела по вертикали:

vy = v0sinα - gt

Подставляя эти выражения в формулу для модуля скорости, получаем:

v = √(v02cos2α + (v0sinα - gt)2)

Из этой формулы видно, что скорость тела уменьшается с высотой, достигая минимума в наивысшей точке траектории. Затем скорость начинает расти по мере приближения тела к Земле. Максимальная скорость достигается в начальный момент броска и в конечный момент приземления.

Примеры решения задач

Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение рассмотренных формул для решения задач о движении тела, брошенного под углом к горизонту.

Задача 1. Тело брошено под углом 60° к горизонту с начальной скоростью 20 м/с. Найти время полета тела и его дальность полета, если ускорение свободного падения равно 10 м/с2.

Решение:

• Дано: α = 60°, v0 = 20 м/с, g = 10 м/с2
• Найти: t(пол), L
• По формуле времени полета:
• t(пол) = 2*(v0*sinα)/g = 2*(20*sin60°)/10 = 4 c
• По формуле дальности полета:
• L = (v02*sin2α)/g = (202*sin260°)/10 = 200 м

Ответ: t(пол) = 4 c, L = 200 м.

Задача 2. Тело брошено под углом α = 30° к горизонту. Определить скорость тела через 2 с после броска, если начальная скорость равна 15 м/с, а ускорение свободного падения составляет 10 м/с2.

Решение:

• Дано: α = 30°, v0 = 15 м/с, g = 10 м/с2, t = 2 c
• Найти: v
• По формуле модуля скорости:
• v = √(v02*cos2α + (v0*sinα - g*t)2) =
• = √(152*cos230° + (15*sin30° - 10*2)2) = 13 м/с

Ответ: v = 13 м/с.

Задача 3. С крыши высотой 20 м бросили тело под углом к горизонту. Тело упало на землю в 32 м от подножия здания. Под каким углом было брошено тело, если его начальная скорость равна 15 м/с?

Решение:

• Дано: h = 20 м, L = 32 м, v0 = 15 м/с
• Найти: α
• Из формулы дальности полета:
• L = (v02*sin2α)/g, отсюда:
• sinα = √(L*g)/(v02) = √(32*10)/(152) = 0.8
• α = arcsin(0.8) = 53°

Ответ: α = 53°.