Каждого, кто начинает изучать информатику, учат двоичной системе исчисления. Именно она используется для вычисления логических операций. Рассмотрим ниже все самые элементарные логические операции в информатике. Ведь если задуматься, именно они используются при создании логики вычислительных машин и приборов.
Отрицание
Перед тем как начать подробно рассматривать конкретные примеры, перечислим основные логические операции в информатике:
- отрицание;
- сложение;
- умножение;
- следование;
- равенство.
Также перед началом изучения логических операций стоит сказать, что в информатике ложь обозначается "0", а правда "1".
Для каждого действия, как и в обычной математике, используются следующие знаки логических операций в информатике: ¬, v, &, ->.
Каждое действие возможно описать либо цифрами 1/0, либо просто логическими выражениями. Начнём рассмотрение математической логики с простейшей операции, использующей всего одну переменную.
Логическое отрицание - операция инверсии. Суть заключается в том, что если исходное выражение - истина, то результат инверсии - ложь. И наоборот, если исходное выражение - ложь, то результатом инверсии станет - правда.
При записи этого выражения используется следующее обозначение "¬A".
Приведём таблицу истинности - схему, которая показывает все возможные результаты операции при любых исходных данных.
| А | х | о |
| ¬A | о | х |
То есть, если у нас исходное выражение - истина (1), то его отрицание будет ложным (0). А если исходное выражение - ложь (0), то его отрицание - истина (1).
Сложение
Оставшиеся операции требуют наличия двух переменных. Обозначим одно выражение -
- Е=1, Н=1 ,тогда Е v Н = 1. Если оба выражения истинны, тогда и их дизъюнкция также истинна.
- Е=0, Н=1 ,в итоге Е v Н = 1. Е=1, Н=0 , тогда Е v Н= 1. Если хотябы одно из выражений истинно, тогда и результат их сложения будет истиной.
- Е=0, Н=0 ,результат Е v Н = 0. Если оба выражения ложны, то их сумма также - ложь.
Для краткости создадим таблицу истинности.
| Е | х | х | о | о |
| Н | х | о | х | о |
| Е v Н | х | х | х | о |
Умножение
Разобравшись с операцией сложения, переходим к умножению (конъюнкции). Воспользуемся теми же обозначениями, которые были приведены выше для сложения. При письме логическое умножение обозначается значком "&", либо буквой "И".
- Е=1, Н=1 ,тогда Е & Н = 1. Если оба выражения истинны, тогда их конъюнкция - истина.
- Если хотя бы одно из выражений - ложь, тогда результатом логического умножения также будет ложь.
- Е=1, Н=0, поэтому Е & Н = 0.
- Е=0, Н=1, тогда Е & Н = 0.
- Е=0, Н=0, итог Е & Н = 0.
| Е | х | х | 0 | 0 |
| Н | х | 0 | х | 0 |
| Е & Н | х | 0 | 0 | 0 |
Следствие
Логическая операция следования (импликация) - одна из простейших в математической логике. Она основана на единственной аксиоме - из правды не может следовать ложь.
- Е=1, Н=, поэтому Е -> Н = 1. Если пара влюблена, то они могут целоваться - правда.
- Е=0, Н=1, тогда Е -> Н = 1. Если пара не влюблена, то они могут целоваться - также может быть истиной.
- Е=0, Н=0, из этого Е -> Н = 1. Если пара не влюблена, то они и не целуются - тоже правда.
- Е=1, Н=0, результатом будет Е -> Н = 0. Если пара влюблена, то они не целуются - ложь.
Для облегчения выполнения математических действий также приведём таблицу истинности.
| Е | х | х | о | о |
| Н | х | о | х | 0 |
| Е -> Н | х | о | х | х |
Равенство
Последней рассмотренной операцией станет логическое тождественное равенство или эквивалентность. В тексте оно может обозначаться как "...тогда и только тогда, когда...". Исходя из этой формулировки, напишем примеры для всех исходных вариантов.
- А=1, В=1, тогда А≡В = 1. Человек пьёт таблетки тогда и только тогда, когда болеет. (истина)
- А=0, В=0, в итоге А≡В = 1. Человек не пьёт таблетки тогда и только тогда, когда не болеет. (истина)
- А=1, В=0, поэтому А≡В = 0. Человек пьёт таблетки тогда и только тогда, когда не болеет. (ложь)
- А=0, В=1 ,тогда А≡В = 0. Человек не пьёт таблетки тогда и только тогда, когда болеет. (ложь)
| А | х | о | х | о |
| В | х | о | 0 | х |
| А≡В | х | х | о | о |
Свойства
Итак, рассмотрев простейшие логические операции в информатике, можем приступить к изучению некоторых их свойств. Как и в математике, у логических операций существует свой порядок обработки. В больших логических выражениях операции в скобках выполняются в первую очередь. После них первым делом подсчитываем все значения отрицания в примере. Следующим шагом станет вычисление конъюнкции, а затем дизъюнкции. Только после этого выполняем операцию следствия и, наконец, эквивалентности. Рассмотрим небольшой пример для наглядности.
А v В & ¬В -> В ≡ А
Порядок выполнения действий следующий.
- ¬В
- В&(¬В)
- А v(В&(¬В))
- (А v(В&(¬В)))->В
- ((А v(В&(¬В)))->В)≡А
Для того чтобы решить этот пример, нам потребуется построить расширенную таблицу истинности. При её создании помните, что столбцы лучше располагать в том же порядке, в каком и будут выполняться действия.
| А | В | ¬В | В&(¬В) | А v(В&(¬В)) | (А v(В&(¬В)))->В | ((А v(В&(¬В)))->В)≡А |
| х | о | х | о | х | х | х |
| х | х | о | о | х | х | х |
| о | о | х | о | о | х | о |
| о | х | о | о | о | х | о |
Как мы видим, результатом решения примера станет последний столбец. Таблица истинности помогла решить задачу с любыми возможными исходными данными.
Заключение
В этой статье были рассмотрены некоторые понятия математической логики, такие как информатика, свойства логических операций, а также - что такое логические операции сами по себе. Были приведены некоторые простейшие примеры для решения задач по математической логике и таблицы истинности, необходимые для упрощения этого процесса.
