В курсе школьной математики обязательно встречаются задачи. Некоторые укрощаются в несколько действий, другие требуют некоторой головоломки.
Задачи, решаемые с помощью уравнения, только на первый взгляд трудные. Если потренироваться, то этот процесс дойдет до автоматизма.
Геометрические фигуры
Для того чтобы понять вопрос, нужно вникнуть в суть. Внимательно вчитывайтесь в условие, лучше перечитать несколько раз. Задачи на уравнения только на первый взгляд трудные. Рассмотрим пример для начала самый простой.
Дан прямоугольник, необходимо найти его площадь. Дано: ширина на 48 % меньше длины, периметр прямоугольника составляет 7,6 сантиметра.
Решение задач по математике требует внимательного вчитывания, логики. Давайте вместе с ней справимся. Что нужно в первую очередь учесть? Обозначим длину за х. Следовательно, в нашем уравнении ширина составит 0,52х. Нам дан периметр - 7,6 сантиметра. Найдем полупериметр, для этого 7,6 сантиметра разделим на 2, он равен 3,8 сантиметра. У нас получилось уравнение, с помощью которого мы найдем длину и ширину:
0,52х + х = 3,8.
Когда мы получим х (длину), нетрудно будет найти и 0,52х (ширину). Если мы знаем эти две величины, то находим ответ на главный вопрос.
Задачи, решаемые с помощью уравнения, не так сложны, как кажутся, это мы могли понять из первого примера. Мы нашли длину х = 2,5 сантиметра, ширину (обознчим у) 0,52х = 1,3 сантиметра. Переходим к площади. Она находится по простой формуле S = х * у (для прямоугольников). В нашей задаче S = 3,25. Это и будет ответом.
Рассмотрим еще примеры решения задач с нахождением площади. И в этот раз возьмем прямоугольник. Решение задач по математике на нахождение периметра, площади разных фигур встречается довольно часто. Читаем условие задачи: дан прямоугольник, его длина на 3,6 сантиметра больше ширины, которая составляет 1/7 периметра фигуры. Найти площадь данного прямоугольника.
Удобно будет обозначить ширину за переменную х, а длину за (х + 3,6) сантиметра. Найдем периметр:
Р = 2х + 3,6.
Мы не можем решить уравнение, так как имеем в нем две переменные. Поэтому смотрим еще раз условие. Там сказано, что ширина равна 1/7 периметра. Получаем уравнение:
1/7 (2х + 3,6) = х.
Для удобства решения умножим каждую часть уравнения на 7, так мы избавляемся от дроби:
2х + 3,6 = 7х.
После решения мы получаем х (ширину) = 0,72 сантиметра. Зная ширину, находим длину:
0,72 + 3,6 = 4,32 см.
Теперь нам известны длина и ширина, отвечаем на главный вопрос о том, чему равна площадь прямоугольника.
S = х * у, S = 3,1104 см.
Бидоны с молоком
Решение задач с помощью уравнений вызывает немало затруднений у школьников, несмотря на то что эта тема начинается в четвертом классе. Есть множество примеров, мы рассмотрели на нахождение площади фигур, теперь немного отвлечемся от геометрии. Посмотрим простые задачи с составлением таблиц, они помогают визуально: так лучше видны данные, помогающие в решении.
Предложите детям прочитать условие задачи и составить таблицу, помогающую составлению уравнения. Вот условие: есть два бидона, в первом в три раза больше молока, чем во втором. Если из первого перелить пять литров во второй, то молока окажется поровну. Вопрос: сколько было молока в каждом бидоне?
Для помощи в решении необходимо составить таблицу. Как она должна выглядеть?
| Было | Стало | |
| 1 бидон | 3х | 3х - 5 |
| 2 бидон | х | х + 5 |
Как это поможет в составлении уравнения? Нам известно, что в итоге молока стало поровну, значит уравнение будет выглядеть следующим образом:
3х - 5 = х + 5;
2х = 10;
х = 5.
Мы нашли первоночальное количество молока во втором бидоне, значит, в первом было: 5 * 3 = 15 литров молока.
Теперь немного пояснений по составлению таблицы.
Почему мы первый бидон обозначили за 3х: в условии оговорено, что во втором бидоне молока в три раза меньше. Затем читаем, что из первого бидона слили 5 литров, следовательно стало 3х - 5, а во второй налили: х + 5. Почему мы поставили знак равно между этими условиями? В условии задачи сказано, что молока стало поровну.
Так мы получаем ответ: первый бидон - 15 литров, второй - 5 литров молока.
Определение глубины
По условию задачи: глубина первой скважины на 3,4 метра больше второй. Первую скважину увеличили на 21,6 метра, а вторую - в три раза, после этих действий скважины имеют одинаковую глубину. Нужно рассчитать, какую глубину имела каждая скважина первоначально.
Методы решения задач многочисленны, можно делать по действиям, составлять уравнения или их систему, но наиболее удобен второй вариант. Чтобы перейти к решению, сотавим таблицу, как в прошлом примере.
| Было | Стало | |
| 1 скважина | х + 3,4 | х + 3,4 + 21,6 |
| 2 скважина | х | 3х |
Переходим к составлению уравнения. Так как скважины стали одинаковой глубины, то оно имеет следующий вид:
х + 3,4 + 21,6 = 3х;
х - 3х = -25;
-2х = -25;
х = -25/-2;
х = 12,5
Мы нашли первоначальную глубину второй скважины, теперь можем найти первую:
12,5 + 3,4 = 15,9 м.
После проделанных действий записываем ответ: 15,9 м, 12,5 м.
Два брата
Обратите внимание, что данная задача отличается от всех предыдущих, так как по условию первоначально было одинаковое количество предметов. Исходя из этого, вспомогательная таблица составляется в обратном порядке, то есть от "стало" к "было".
Условие: двум братьям дали поровну орехов, но старший отдал своему братику 10, после этого орешков у младшего стало в пять раз больше. Сколько же сейчас орехов у каждого мальчика?
| Было | Стало | |
| Старший | х + 10 | х |
| Младший | 5х - 10 | 5х |
Составляем уравнение:
х + 10 = 5х - 10;
-4х = -20;
х = 5 - стало орехов у старшего брата;
5 * 5 = 25 - у младшего брата.
Теперь можно записать ответ: 5 орехов; 25 орехов.
Покупки
В школу нужно купить книги и тетради, первые дороже вторых на 4,8 рублей. Нужно рассчитать, сколько стоит одна тетрадь и одна книга, если при покупке пяти книг и двадцать одной тетради заплатили одинаковую сумму денег.
Прежде чем переходить к решению, стоит ответить на следующие вопросы:
- О чем идет речь в задаче?
- Сколько заплатили?
- Что покупали?
- Какие величины можно между собой уровнять?
- Что нужно узнать?
- Какую величину принять за х?
Если вы ответили на все вопросы, то переходим к решению. В данном примере за величину х можно принять как цену одной тетради, так и стоимость книги. Рассмотрим два возможных варианта:
- х - стоимость одной тетради, тогда х + 4,8 - цена книги. Исходя из этого, получаем уравнение: 21х = 5 (х + 4,8).
- х - стоимость книги, тогда х - 4,8 - цена тетради. Уравнение имеет вид: 21 (х - 4,8) = 5х.
Можете для себя выбрать более удобный вариант, далее решим два уравнения и сравним ответы, по итогу они должны совпадать.
Первый способ
Решение первого уравнения:
21х = 5 (х + 4,8);
4,2х = х + 4,8;
4,2х - х = 4,8;
3,2х = 4,8;
х = 1,5 (рублей) - стоимость одной тетради;
4,8 + 1,5 = 6,3 (рублей) - стоимость одной книги.
Еще один способ решения данного уравнения (открытие скобок):
21х = 5 (х + 4,8);
21х = 5х + 24;
16х = 24;
х= 1,5 (рублей) - стоимость одной тетради;
1,5 + 4,8 = 6,3 (рублей) - стоимость одной книги.
Второй способ
5х = 21 (х - 4,8);
5х = 21х - 100,8;
16х = 100,8;
х = 6,3 (рублей) - стоимость 1 книги;
6,3 - 4,8 = 1,5 (рублей) - стоимость одной тетради.
Как видно из примеров, ответы идентичны, следовательно, задача решена верно. Следите за правильностью решения, в нашем примере не должны ответы получаться отрицательными.
Встречаются и другие задачи, решаемые с помощью уравнения, например на движение. Рассмотрим их более подробно в следующих примерах.
Два автомобиля
В этом разделе речь пойдет о задачах на движение. Чтобы уметь их решать, необходимо знать следующее правило:
S=V*T,
S - растояние, V - скорость, Т - время.
Попробуем рассмотреть пример.
Два автомобиля выехали одновременно из точки А в точку В. Первый проехал все расстояние на одной скорости, второй первую половину пути ехал со скоростью 24 км/ч, а вторую - 16 км/ч. Нужно определить скорость первого автомобилиста, если в пункт В они пришли одновременно.
Что нам потребуется для составления уравнения: главная переменная V1 (скорость первого автомобиля), второстепенные: S - путь, Т1 - время в пути первого автомобиля. Уравнение: S = V1 * Т1.
Далее: второй автомобиль первую половину пути (S/2) проехал со скоростью V2=24 км/ч. Получаем выражение: S/2 = 24 * Т2.
Следующую часть пути он проехал со скоростью V3 = 16 км/ч. Получаем S/2 = 16 * Т3.
Далее из условия видно, что автомобили прибыли одновременно, следовательно Т1 = Т2 + Т3. Теперь нам предстоит выразить переменные Т1, Т2, Т3 из предыдущих наших условий. Получаем уравнение: S/V1 = (S/48) + (S/32).
S принимаем за единицу и решаем уравнение:
1/V1 = 1/48 + 1/32;
1/V1 = (2/96) + (3/96);
1/V1 = 5/96;
V1 = 96/5;
V1 = 19,2 км/ч.
Это и есть ответ. Задачи, решаемые с помощью уравнения, сложны только на первый взгляд. Помимо вышепредложеных, могут встретиться задачи на работу, что это такое, рассмотрим в следующем разделе.
Задача на работу
Для решения такого типа задания необходимо знать формулу:
A = VT,
где A - это работа, V - производительность.
Для более подробного описания нужно привести пример. Тема "Решение задач уравнением" (6 класс) может не содержать подобных задач, так как это более сложный уровень, но тем не менее приведем пример для ознакомления.
Внимательно читаем условие: два рабочих работают вместе и план выполняют за двенадцать дней. Нужно определить, сколько времени потребуется первому работнику на выполнение той же нормы самостоятельно. Известно, что он за два дня выполняет объем работы, как второй работник за три дня.
Решение задач на составление уравнений требует внимательного чтения условия. Первое, что мы поняли из задачи, что работа не определена, значит, принимаем ее за единицу, то есть А = 1. Если в задаче говорится об определенном количестве деталей или литров, то работу стоит брать по этим данным.
Обозначаем производительность первого и второго рабочего через V1 и V2 соответственно, на этом этапе возможно составление следующего уравнения:
1 = 12 (V1 + V2).
Что нам говорит данное уравнение? Что всю работу выполняют два человека за двенадцать часов.
Дальше мы можем утверждать: 2V1 = 3V2. Потому что первый за два дня делает столько, сколько второй за три. Мы получили систему уравнений:
1 = 12 (V1 + V2);
2V1 = 3V2.
По итогу решения системы мы получили уравнение с одной переменной:
1 - 8V1 = 12V1;
V1 = 1/20 = 0,05.
Это производительность труда первого рабочего. Теперь мы можем найти время, за которое справится со всей работой первый человек:
А = V1 * T1;
1 = 0,05 * Т1;
Т1 = 20.
Так как за единицу времени был принят день, то ответ: 20 дней.
Переформулировка задачи
Если вы хорошо овладели навыком решать задачи на движение, а с задачами на работу у вас возникают некие затруднения, то возможно из работы получить движение. Каким образом? Если брать последний пример, то условие получится следующим: Олег и Дима движутся навстречу друг другу, встречаются они через 12 часов. За сколько преодолеет путь самостоятельно Олег, если известно, что он за два часа проезжает путь, равный пути Димы за три часа.
