Считается, что первые человеческие цивилизации появились 10 000 лет назад. По сравнению с возрастом нашей планеты, который, по расчетам ученых, составляет около 4,54 миллиарда лет, это лишь короткий миг. За это «мгновение» человечество сделало огромный рывок от примитивных каменных орудий труда до межпланетных космических кораблей. Он был бы невозможен, если время от времени на планете не рождались бы гении, двигавшие вперед науку. К их числу, безусловно, относится Евклид. Его труды стали основой и мощным толчком для развития современной математики.
Эта статья посвящена пятому постулату Евклида и его истории.
Как появилась геометрия
С тех пор как земельные наделы стали предметом купли-продажи и сдачи в аренду, их размеры и площадь нужно было измерять, в том числе путем вычислений. Кроме того, подобные расчеты стали необходимы при строительстве масштабных сооружений, а также при измерении объема различных предметов. Все это стало предпосылками возникновения 3-4 тысячелетия назад в Египте и Вавилоне искусства землемерия. Оно было эмпирическим и представляло собой собрание примеров решения нескольких сотен конкретных задач, без каких-либо доказательств.
Как систематическая наука геометрия сложилась в Древней Греции. Уже к третьему веку до нашей эры имелся большой запас фактов и доказательных методов. Вместе с тем возникла задача обобщить собранный достаточно обширный геометрический материал. Ее пытались решить Гиппократ, Федий и другие древнегреческие философы. Однако логически выверенная научная система появилась лишь около 300 года до н. э. с опубликованием «Начал».
Кем был Евклид
Древняя Греция дала миру многих величайших философов и ученых. Одним из них является Евклид, ставший основоположником Александрийской математической школы. О самом ученом практически ничего не известно. Некоторые источники указывают, что в молодости будущий Отец современной геометрии учился в известной школе Платона в Афинах, а затем вернулся в Александрию, где продолжил заниматься математикой и оптикой, а также писал музыку. В родном городе он основал школу, где вместе с учениками и создал свой знаменитый труд, который на протяжении более чем двух тысячелетий является базой для любого учебника по планиметрии и стереометрии.
«Начала» Евклида
Главный и первый наиболее систематизированный труд по геометрии состоит из 13 томов. Первые четыре и шестая книги касаются планиметрии, а 11, 12 и 13-я — стереометрии. Что касается остальных томов, то они посвящены арифметике, которая приводится с точки зрения геометрических постулатов.
Роль главного труда Евклида в последующем развитии математических наук трудно переоценить. До нас дошло несколько папирусных списков с оригинала, а также византийских манускриптов.
В Средние века «Начала» Евклида изучались прежде всего арабами, которые считали их одним из величайших произведений человеческой мысли, а самого ученого жителем Дамаска. Много позже этими трудами заинтересовались европейцы. С появлением книгопечатания наука, в том числе геометрия Евклида перестала быть достоянием лишь избранных. После первого издания в 1533 году «Начала» стали доступны всем, кто желал познать мир, а таких с каждым годом становилось все больше. Спрос породил предложение, поэтому считается, что этот труд является вторым в числе самых читаемых памятников древности после Библии.
Некоторые особенности
В «Началах» описываются метрические свойства трехмерного, пустого, безграничного и изотропного пространства, которое принято называть евклидовым. Оно считается ареной, где происходят явления классической физики Галилея и Ньютона.
Элементарным геометрическим объектом, по мнению Евклида, является точка. Второе важное понятие — бесконечность пространства, которая характеризуется тремя первыми постулатами. Четвертый касается равенства прямых углов. Что касается пятого постулата Евклида, то именно он определяет свойства и геометрию евклидова пространства.
По мнению ученых, отец классической геометрии создал совершенный учебник, при изучении которого исключаются какие-либо непонимания материала из-за способа его изложения. В частности, каждый том «Начал» начинается с определения понятий, встречаемых впервые. В частности, с первых страниц 1-й книги читатель узнает, что такое точка, линия, прямая и пр. Всего в ней присутствует 23 определения, необходимых для понимания основных положений материала, представленного в этом фундаментальном труде.
Аксиомы и первые 4 постулата Евклида
После определений автор «Начал» приводит предложения, которые принимаются без доказательства. Их он разделяет на аксиомы и постулаты. Первая группа состоит из 11 утверждений, которые человеку известны интуитивно. Например, 8-я аксиома гласит, что целое больше части, а согласно первой, две величины, порознь равные третьей, равны между собой.
Кроме того, Евклид приводит 5 постулатов. Первые четыре гласят:
- от любой точки до всякой другой можно провести прямую;
- из любого центра всяким радиусом возможно описать окружность;
- ограниченная прямая может непрерывно продолжаться по прямой;
- все прямые углы равны.
Пятый постулат Евклида
На протяжении более двух тысячелетий это утверждение неоднократно становилось объектом пристального внимания математиков. Однако сначала познакомимся с содержанием пятого постулата Евклида. Итак, в современной формулировке он звучит так: если на плоскости при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних внутренних углов меньше 180°, то эти прямые при продолжении рано или поздно пересекутся с той стороны, с которой эта величина (сумма) меньше 180°.
Пятый постулат Евклида, формулировка которого в разных источниках приводится по-разному, с самого начала вызвала спорт и желание перевести его в разряд теорем путем построения обоснованного доказательства. Кстати, нередко его подменяют другим выражением, на самом деле придуманным Проклом и известным также, как аксиома Плейфера. Оно гласит: на плоскости через точку, не принадлежащей данной прямой, возможно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
Формулировки
Как уже было сказано, многие ученые пытались по-другому высказать идею 5-го постулата Евклида. Многие формулировки достаточно очевидны. Например:
- сближающиеся прямые пересекаются;
- существует хотя бы один прямоугольник, то есть 4-угольник с четырьмя прямыми углами;
- каждая фигура может быть пропорционально увеличена;
- существует треугольник, имеющий любую, сколь угодно большую площадь.
Недостатки
Геометрия Евклида стала величайшим математическим трудом античности и вплоть до 19 века она безраздельно царила в математике. Несмотря на это, некоторые ее недостатки были отмечены еще современниками автора и древнегреческими учеными, жившими несколько позже. В частности, Архимед добавил новую аксиому, названную его именем. Она гласит: для любых отрезков AB и CD существует такое натуральное число n, что n·[AB]>[CD].
Кроме того, ученые стремились минимизировать систему евклидовых постулатов и аксиом. Для этого они вывели некоторые из них из остальных.
Так удалось «избавиться» от 4-го постулата о равенстве прямых углов. Для него было найдено строгое доказательство, благодаря чему он перешел в разряд теорем.
История 5 постулата в древности и в раннем Средневековье
Классическая формулировка этого утверждения геометрии Евклида кажется гораздо менее очевидной, чем четырех других. Именно это обстоятельство не давало покоя математикам.
Камнем преткновения для пятого постулата Евклида явилось само определение параллельности двух прямых a и b, гласящее, что сумма двух односторонних углов, которые образованы пересечением a и b с третьей прямой c, равна 180 градусам.
Первая попытка доказать его как теорему была предпринята древнегреческим геометром Посидонием. Он предложил считать прямой параллельной данной множество всех точек плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от исходной. Однако даже это не позволило Посидонию найти доказательство 5-го постулата.
Ни к чему не привели и попытки прочих математиков, в том числе и средневековых, таких как же арабы ибн Корра и Хайама. Единственное, чего удалось добиться — появление новых постулатов, которые доказываются с учетом различных допущений.
В 18-19-х веках
Классическая геометрия продолжала интересовать математиков и в 18-м столетии. В частности, достаточно близко к доказательству аксиомы параллельности Евклида смог подойти французский математик А. Лежандр. Его перу принадлежит выдающийся учебник «Начала геометрии», который около 150 лет был основным при обучении математике в школах Российской империи. В нем ученый привел три варианта доказательства евклидовой аксиомы параллельности, однако все они оказались некорректными.
К началу 19-го столетия возникла идея создания неевклидовой геометрии. Первым описание системы, не зависящей от пятого постулата, привел военный инженер Я. Бойаи. Но он сам испугался своего открытия и не стал развивать эту идею, посчитав ее ошибочной. Успеха не смог добиться и великий немецкий математик К. Гаусс.
Прорыв
В течение более чем 2000 лет пятый постулат Евклида, доказательство которого пытались найти сотни ученых, оставался проблемой номер один в математике. Прорыв совершил российский математик Н. И. Лобачевский. Именно ему первому в мире удалось описать свойства реального пространства, доказав, что геометрия Евклида «работает» только в частном случае его системы.
Н. И. Лобачевский изначально пошел по тому же пути, что и его коллеги. Пытаясь доказать 5-й постулат, он не добился успеха. Тогда ученый отказался от евклидового представления, согласно которому сумма углов треугольника равна 180 градусам. Далее он стал доказывать это утверждение от противного и получил новую формулировку для пятого постулата. Теперь он допускал существование нескольких прямых, параллельных данной, и проходящих через точку, лежащую вне этой прямой.
Новая геометрия
Нет смысла обсуждать, кто сделал больше для математической науки. Роль Евклида и Лобачевского сопоставима с влиянием на формирование и развитие физики Ньютона и Эйнштейна. В то же время новая, абсолютная геометрия позволила рассматривать понятие пространства, оторвавшись от классического метода «могу понять только то, что могу измерить». А ведь именно такой подход практиковался в науке на протяжении многих тысячелетий.
К сожалению, идеи геометрии Лобачевского не были восприняты и поняты современниками. В частности, его ученики не продолжили дело ученого, и развитие неевклидовой геометрии было отложено на несколько десятилетий.
Некоторые особенности теории Лобачевского
Чтобы понять новую геометрию, нужно рассмотреть космическую бесконечность. Действительно, сложно представить, что бескрайная Вселенная представляет собой сумму прямолинейных пространств.
Геометрия Лобачевского применяется для описания криволинейных пространств, которые создаются гравитационными полями галактик. Она позволила отойти от метода сведения всех фигур к «приблизительно правильным» цилиндру, кругу, пирамиде или к произвольному сочетанию этих фигур. Ведь, например, наша планета в реальности — не шар, а геоид, т. е. фигура, которая получается при очерчивании внешнего контура литосферы (твердой оболочки) Земли.
В реальной жизни также есть аналоги криволинейных пространств Вселенной, которые позволяют представить возможность существования нескольких прямых параллельных данной, проходящих через одну точку. В частности, это изогнутые поверхности трех типов, которые выделены итальянским геометром Е. Бельтрами и названные псевдосферами.
Дальнейшее развитие теории Лобачевского
Выдающийся русский был не единственным, кто предположил не абсолютность евклидовой геометрии. В частности, математик Б. Риман в 1854 году выдвинул идею о возможности существования пространств нулевой, положительной и отрицательной кривизной. Это означало, что возможно создание бесконечного множества различных неклассических геометрий.
С позиций Б. Римана, который изучал в основном пространства с положительной кривизной, 5-й постулат Евклида звучит достаточно неожиданно. Согласно его идеям, через точку вне данной прямой нельзя провести ни одной прямой, которая параллельна данной.
Совсем по-иному обстоит дело с пространствами нулевой, отрицательной и положительной кривизны по теории Ф. Клейна. В частности, в первом случае они описываются параболической геометрией, частным случаем которой является классическая, во второй — подчиняются идеям Лобачевского, а в третьем — соответствуют свойствам, описанным Риманом.
После опубликования Теории относительности Альберта Эйнштейна, представления о таких пространствах дополнили данными, учитывающими существование четырех взаимообусловленных и меняющихся измерений — массы, энергии, скорости и времени.
На практике
Если перейти к человеческому восприятию пространства, то в пределах земной орбиты для гигантского треугольника максимально большого из возможных отклонение суммы внутренних углов от классических 180 градусов составит всего четыре миллионных секунды. Такая величина находится за гранью возможностей гомо сапиенса, поэтому для «земных» востребованной является геометрия Евклида.
Остается ждать, когда будут созданы условия, позволяющие получить экспериментальные данные, которые подтвердят или опровергнут теории Н. Лобачевского и Б. Римана в масштабах Галактики.
Теперь вам известны, что декларирует пятый постулат Евклида и его история, которая весьма поучительна и позволяет проследить эволюцию человеческой мысли на протяжении последних 2300 лет.
