Математика – одна из фундаментальных наук, единственная, которая может действительно называться истинной.
Объективная наука
Все аксиомы, теоремы и правила математики основываются на логике и поэтому считаются объективными знаниями, несмотря на то что некоторые из аксиом и теорем могут быть абсолютно контр-интуитивными. Многие считают математику сухой и скучной, однако, как демонстрируют следующие факты, эта сфера точных наук может быть невероятно интересной.
Случайные последовательности
Как ни странно, но набор случайных данных не является таким уж и случайным. В списке чисел, означающих что угодно, от численности населения стран, высоты небоскребов и длинны дорог до данных биржи недвижимости и цен на акции нефтяных компаний, около 30% чисел будут начинаться с цифры 1. Меньший процент чисел будет начинаться с цифры 2, еще меньший – с 3 и так до тех пор, пока лишь одно число из 20 не будет начинаться с цифры 9. Чем больше количество случайных чисел, тем четче прослеживается факт существования этой закономерности.
Спираль простых чисел
Еще ее называют спиралью или скатертью Улама. Во время скучной презентации в 1963 году математик Станислав Улам обводил клетки в тетради по спирали, при этом отмечая каждую клетку цифрой. Через некоторое время он обратил внимание на то, что простые числа в этой спирали выстраиваются строго по диагонали.
Простые числа – те, что делятся только на 1 и на себя. Остальные числа являются их производными. Именно поэтому в математике принято называть их «атомами». Однако, несмотря на их важность, закономерность появления простых чисел в отряде целых чисел пока не раскрыта. Практически невозможно предсказать или определить правилом, как часто и в какой последовательности появляются простые числа. Именно поэтому неслучайный «узор» спирали Улама вызывает удивление и восхищение не только математиков, но и других ученых.
Само диагональное расположение простых чисел не так уж и удивительно, учитывая то, что все простые числа, кроме 2, – нечетные, а диагонали в спирали Улама отмечаются последовательно четными и нечетными числами. Поразительно то, что на некоторых диагоналях простых чисел значительно больше, чем на других. Кроме того, эта странная закономерность сохраняется, если отмечать начало спирали единицей или любым другим числом.
Даже если составить спираль из миллионов и миллиардов, эта закономерность четко прослеживается – некоторые диагональные линии «до краев» наполнены простыми числами, а некоторые нет.
Выворачивание сферы
Дифференциальная геометрия и топология – важный раздел математики, который утверждает, что два предмета считаются одинаковыми, если одному из них можно придать форму другого исключительно путем сжатия, растягивания и выворачивания без разрывов и порезов материи. Стоит отметить, что чаще всего это утверждение рассматривается теоретически. Так же как и в случае со сферой.
Специалисты в области дифференциальной топологии давно рассматривали теоретическую возможность выворачивания сферы наизнанку. Стоит напомнить, что процесс должен происходить без разрыва материи. Кажется невозможным, не так ли? Сферу невозможно вывернуть наизнанку, не повредив ее поверхность.
На самом деле существует крайне контр-интуитивная теорема Смейла, которую чаще всего именуют парадоксом Смейла. И неудивительно, ведь теорема доказывает, что сферу можно вывернуть наизнанку, не нарушив ее гладкой поверхности. Смейл составил свой парадокс в 1958 году, с тех пор несколько ученых придумали «практическое» выворачивание сферы. На сегодняшний день существует несколько вариантов.
Кристаллографические группы
Представьте себе обои с симметрическим узором. Сколько разных вариантов вы можете придумать навскидку? Кажется, что двухмерных симметрий может быть бесконечное множество. А вот и нет. Математически, существует ограниченное число возможных двухмерных геометрических узоров. Все картины, мандалы, обои, узоры и прочие двухмерные симметрии любого размера с использованием любых геометрических форм делятся на определенные кристаллографические группы. И всего их 17.
Тождество Эйлера
Это тождество называют самой красивой математической формулой и сравнивают с сонетами Шекспира, картинами Рафаэля и любым другим проявлением совершенства в человеческой истории. Все дело в том, что тождество выглядит крайне просто. Кроме своей простоты, эта небольшая формула связывает пять математических констант в одно верное тождество. Каждые элемент формулы представляет собой неизменяемое, нейтральное математическое понятие. Единица и ноль – нейтральные элементы для операций умножения и сложения соответственно; пи – неизменное число, указывающее на соотношение длинны окружности к ее диаметру; е – математическая константа и основание натурального логарифма; i – мнимая единица.
Если число пи, единица и ноль знакомы каждому, то с константами е и i будет сложнее. Начнем с е – это иррациональное число, которое к тому же трансцендентно, то есть не является алгебраическим. Это сложное число используется в математическом анализе и дифференциальном исчислении. В свою очередь i представляет собой мнимую единицу – комплексное число. Оно необходимо, потому что в реальности нет чисел, квадрат которых будет равен отрицательному числу, поэтому отрицательные числа не имеют квадратных корней. В математике бывают случаи, когда такое действие необходимо. Для этого и нужно мнимое число i.
В конечном итоге формула, объединяющая все эти сложные числа таким простым образом, кажется не столько математической, сколько магической.
