Геометрическая прогрессия. Пример с решением

Рассмотрим некоторый ряд.

7 28 112 448 1792...

Совершенно ясно видно, что значение любого его элемента больше предыдущего ровно в четыре раза. Значит, данный ряд является прогрессией.

Геометрической прогрессией именуется бесконечная последовательность чисел, главной особенностью которой является то, что следующее число получается из предыдущего посредством умножения на какое-то определенное число. Это выражается следующей формулой.

a_z+1=a_z·q, где z – номер выбранного элемента.

Соответственно, z ∈ N.

Период, когда в школе изучается геометрическая прогрессия - 9 класс. Примеры помогут разобраться в понятии:

0.25 0.125 0.0625...

18 6 2 ...

Исходя из этой формулы, знаменатель прогрессии возможно найти следующим образом:

Ни q, ни b_z не могут равняться нулю. Так же каждый из элементов числового ряда прогрессии не должен равняться нулю.

Соответственно, чтобы узнать следующее число ряда, нужно умножить последнее на q.

Чтобы задать данную прогрессию, необходимо указать первый ее элемент и знаменатель. После этого возможно нахождение любого из последующих членов и их суммы.

Разновидности

В зависимости от q и a_1, данная прогрессия разделяется на несколько видов:

• Если и a₁, и q больше единицы, то такая последовательность - возрастающая с каждым следующим элементом геометрическая прогрессия. Пример таковой представлен далее.

Пример: a₁=3, q=2 - оба параметра больше единицы.

Тогда числовая последовательность может быть записана так:

3 6 12 24 48 ...

• Если |q| меньше единицы, то есть, умножение на него эквивалентно делению, то прогрессия с подобными условиями - убывающая геометрическая прогрессия. Пример таковой представлен далее.

Пример: a₁=6, q=1/3 - a₁ больше единицы, q - меньше.

Тогда числовую последовательность можно записать таким образом:

6 2 2/3 ... - любой элемент больше элемента, следующего за ним, в 3 раза.

• Знакопеременная. Если q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a₁, а элементы ни возрастают, ни убывают.

Пример: a₁ = -3 , q = -2 - оба параметра меньше нуля.

Тогда числовую последовательность можно записать так:

-3, 6, -12, 24,...

Формулы

Для удобного использования геометрических прогрессий существует множество формул:

• Формула z-го члена. Позволяет рассчитать элемент, стоящий под конкретным номером без расчета предыдущих чисел.

Пример: q = 3, a₁ = 4. Требуется посчитать четвертый элемент прогрессии.

Решение: a₄ = 4 · 3^4-1= 4 ·3³ = 4 · 27 = 108.

• Сумма первых элементов, чье количество равно z. Позволяет рассчитать сумму всех элементов последовательности до a_z включительно.

Так как (1-q) стоит в знаменателе, то (1 - q) ≠ 0, следовательно, q не равно 1.

Замечание: если бы q=1, то прогрессия представляла бы собой ряд из бесконечно повторяющегося числа.

Сумма геометрической прогрессии, примеры: a₁ = 2, q = -2. Посчитать S₅.

Решение: S₅ = 22 - расчет по формуле.

• Сумма, если |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Пример: a₁ = 2_, q = 0.5. Найти сумму.

Решение: S_z = 2· = 4

Если посчитать сумму нескольких членов вручную, то видно, что она действительно стремится к четырем.

S_z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Некоторые свойства:

• Характеристическое свойство. Если следующее условие выполняется для любого z, то заданный числовой ряд – геометрическая прогрессия:

a_z² = a_z-1 · a_z+1

• Так же квадрат любого числа геометрической прогрессии находится при помощи сложения квадратов двух других любых чисел в заданном ряду, если они равноудалены от этого элемента.

a_z² = a_z-t² + a_z+t² , где t - расстояние между этими числами.

• Элементы различаются в q раз.
• Логарифмы элементов прогрессии так же образуют прогрессию, но уже арифметическую, то есть каждый из них больше предыдущего на определенное число.

Примеры некоторых классических задач

Чтобы лучше понять, что такое геометрическая прогрессия, примеры с решением для 9 класса могут помочь.

• Условия: a₁ = 3, a₃ = 48. Найти q.

Решение: каждый последующий элемент больше предыдущего в q раз. Необходимо выразить одни элементы через другие с помощью знаменателя.

Следовательно, a₃ = q²·a₁

При подстановке q=4

• Условия: a₂ = 6, a₃ = 12. Рассчитать S₆.

Решение: Для этого достаточно найти q, первый элемент и подставить в формулу.

a₃ = q·a₂, следовательно, q = 2

a₂ = q · a₁, поэтому a₁ = 3

S₆ = 189

• · a₁ = 10, q = -2. Найти четвертый элемент прогрессии.

Решение: для этого достаточно выразить четвертый элемент через первый и через знаменатель.

a₄ = q³·a₁ = -80

Пример применения:

• Клиент банка совершил вклад на сумму 10000 рублей, по условиям которого каждый год клиенту к основной сумме будут прибавляться 6% от нее же. Сколько средств будет на счету через 4 года?

Решение: Изначальная сумма равна 10 тысячам рублей. Значит, через год после вложения на счету будет сумма, равная 10000 + 10000·0.06 = 10000 · 1.06

Соответственно, сумма на счете еще через один год будет выражаться следующим образом:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

То есть с каждым годом сумма увеличивается в 1.06 раз. Значит, чтобы найти количество средств на счете через 4 года, достаточно найти четвертый элемент прогрессии, которая задана первым элементом, равным 10 тысячам, и знаменателем, равным 1.06.

S = 1.06·1.06·1.06·1.06·10000 = 12625

Примеры задач на вычисление суммы:

В различных задачах используется геометрическая прогрессия. Пример на нахождение суммы может быть задан следующим образом:

a₁ = 4, q = 2, рассчитать S₅.

Решение: все необходимые для расчета данные известны, нужно просто подставить их в формулу.

S₅= 124

• a₂ = 6, a₃ = 18. Рассчитать сумму первых шести элементов.

Решение:

В геом. прогрессии каждый следующий элемент больше предыдущего в q раз, то есть для вычисления суммы необходимо знать элемент a₁ и знаменатель q.

a₂ · q = a₃

q = 3

Аналогичным образом требуется найти a₁, зная a₂ и q.

a₁ · q = a₂

a₁ = 2

И далее достаточно подставить известные данные в формулу суммы.

S₆= 728.