Метод Крамера и его применение

Метод Крамера – это один из точных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Точность его обусловлена использованием определителей матрицы системы, а также некоторыми ограничениями, накладываемыми в ходе доказательства теоремы. 

Системой линейных алгебраических уравнений с коэффициентами, принадлежащими, например, множеству R – действительных чисел, от неизвестных x1, x2 ,..., xn называют набор выражений вида

ai2 x1+ai2 x2 +… ain xn =bi при i=1, 2, … ,m, (1)

где aij, bi – действительные числа. Каждое из этих выражений называется линейным уравнением, aij – коэффициентами при неизвестных, bi – свободными коэффициентами уравнений.

Решением системы (1) называют n-мерный вектор x° = (x1°, x2°,…, xn°), при подстановке которого в систему вместо неизвестных x1, x2 ,..., xn каждая из строк в системе становится верным равенством.

Система называется совместной, если у нее есть хотя бы одно решение, и несовместной, если ее множество решений совпадает с пустым множеством.

Необходимо помнить, что для того, чтобы найти решение систем линейных алгебраических уравнений, используя метод Крамера, матрицы систем должны быть квадратными, что по сути означает одинаковое количество неизвестных и уравнений в системе.

Итак, чтобы использовать метод Крамера, необходимо как минимум знать, что такое матрица систем линейных алгебраических уравнений и как она выписывается. А во-вторых, понимать, что называют определителем матрицы и владеть навыками его вычисления.

Предположим, что этими знаниями вы владеете. Замечательно! Тогда вам остается всего лишь запомнить формулы, определяющие метод Крамера. Для упрощения запоминания воспользуемся следующими обозначениями:

• Det – главный определитель матрицы системы;

• deti – это определитель матрицы, полученной из основной матрицы системы, если заменить i-й столбец матрицы на вектор-столбец, элементами которого являются правые части систем линейных алгебраических уравнений;

• n – количество неизвестных и уравнений в системе.

Тогда правило Крамера вычисления i-й компоненты xi (i=1,..n) n-мерного вектора x можно записать в виде

xi = deti/ Det, (2).

При этом Det строго отличен от нуля.

Единственность решения системы при ее совместности обеспечивает условие неравенства нулю главного определителя системы. В противном случае, если сумма (xi), возведенных в квадрат, строго положительна, то СЛАУ с квадратной матрицей будет несовместной. Это может произойти, в частности, когда, по крайней мере, один из deti отличен от нуля.

Пример 1. Решить трехмерную систему ЛАУ, используя формулы Крамера.
x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 – x2 + x3 =10.

Решение. Выпишем матрицу системы построчно, где Ai – это i -я строка матрицы.
A1=(1 2 4), A2=(5 1 2), A3=(3 –1 1).
Столбец свободных коэффициентов b=(31 29 10).

Главный определитель Det системы равен
Det= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a32 a23 – a33 a21 a12 = 1 – 20 + 12 – 12 + 2 – 10 = –27.

Для вычисления det1 используем подстановку a11= b1, a21 = b2, a31 = b3. Тогда
det1= b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 – a13 a22 b3 – b1 a32 a23 – a33 b2 a12 =...= –81.

Аналогично, для вычисления det2 используем подстановку a12= b1, a22 = b2, a32 = b3 и, соответственно, для вычисления det3 – a13= b1, a23 = b2, a33 = b3.
Тогда можете проверить, что det2 = –108, а det3 = – 135.
Согласно формулам Крамера находим x1 = -81/(-27) = 3, x2 = -108/(-27) = 4, x3 = -135/(-27) = 5.

Ответ: x°=(3,4,5).

Опираясь на условия применимости данного правила, метод Крамера решения систем линейных уравнений можно использовать опосредованно, например, с целью исследовать систему на возможное число решений в зависимости от величины некоторого параметра k.

Пример 2. Определить, при каких значениях параметра k неравенство |kx – y – 4|+|x + ky + 4|<=0 имеет ровно одно решение.

Решение.
Данное неравенство в силу определения модуля функции может быть выполнено, только если оба выражения одновременно равны нулю. Поэтому эта задача сводится к нахождению решения линейной системы алгебраических уравнений

kx – y = 4,
x + ky = –4.

Решение данной системы единственное, если ее главный определитель
Det = k^{2} + 1 отличен от нуля. Очевидно, что это условие выполняется для всех действительных значений параметра k.

Ответ: для всех действительных значений параметра k.

К задачам данного вида также могут быть сведены многие практические задачи из области математики, физики или химии.