Идеальная жидкость и уравнения, описывающие ее движение

Раздел физики, который изучает особенности движение жидких сред, называется гидродинамикой. Одним из главных математических выражений гидродинамики является уравнение Бернулли для идеальной жидкости. Именно этой теме посвящена статья.

Что такое идеальная жидкость?

Многие знают, что жидкая субстанция представляет собой такое агрегатное состояние материи, которое сохраняет при постоянных внешних условиях объем, но изменяет свою форму при малейшем воздействии на нее. Под идеальной жидкостью понимают такую текучую субстанцию, которая не имеет вязкости и является несжимаемой. Это два главных свойства, которые отличают ее от реальных текучих сред.

Отметим, что практически все реальные жидкости можно считать несжимаемыми, поскольку для небольшого изменения их объема необходимо огромное внешнее давление. Например, если создать давление в 5 атмосфер (500 кПа), то вода увеличит свою плотность всего на 0,024 %. Что касается вопроса вязкости, то для ряда практических задач, когда в качестве рабочей жидкости рассматривается вода, ею можно пренебречь. Для полноты информации отметим, что динамическая вязкость воды при 20 ^oC составляет 0,001 Па*с², что в сравнении с этой величиной для меда (>2000), является мизерным значением.

Важно не путать понятия идеальной жидкости и идеального газа, поскольку последний является легко сжимаемым.

Уравнение непрерывности

В гидродинамике движение идеальной жидкости начинают рассматривать с изучения уравнения непрерывности ее потока. Чтобы понять суть вопроса, необходимо рассмотреть движение жидкости по трубе. Представим, что на входе труба имеет площадь сечения A₁, а на выходе A₂.

Теперь предположим, что жидкость течет в начале трубы со скоростью v₁, это означает, что за время t через сечение A₁ пройдет поток объемом V₁ = A₁*v₁*t. Поскольку жидкость является идеальной, то есть несжимаемой, то точно такой же объем воды должен выйти из конца трубы за время t, получаем: V₂ = A₂*v₂*t. Из равенства объемов V₁ и V₂ следует уравнение непрерывности потока идеальной жидкости:

A₁*v₁ = A₂*v₂.

Из полученного уравнения следует, что если A₁>A₂, то v₁ должно быть меньше, чем v₂. Другими словами, уменьшая сечение трубы, мы тем самым увеличиваем скорость выходящего из нее потока жидкости. Очевидно, что этот эффект наблюдал каждый человек в жизни, кто хотя бы раз поливал из шланга клумбы с цветами или огород, так, прикрывая пальцем отверстие шланга, можно наблюдать, как струя бьющей из него воды становится сильнее.

Уравнение непрерывности для разветвленной трубы

Интересно рассмотреть случай движения идеальной жидкости по трубе, которая имеет не один, а два и более выхода, то есть является разветвленной. Например, площадь сечения трубы на входе равна A₁, а к выходу она разветвляется на две трубы с сечениями A₂ и A₃. Определим скорости потоков v₂ и v₃, если известно, что на вход вода поступает со скоростью v₁.

Используя уравнение непрерывности, получаем выражение: A₁*v₁ = A₂*v₂ + A₃*v₃. Чтобы решить это уравнения относительно неизвестных скоростей, нужно понимать, что на выходе, в какой бы трубе не находился поток, он движется с одинаковой скоростью, то есть v₂=v₃. Этот факт можно понять интуитивно. Если разделить некоторой перегородкой выходную трубу на две части, скорость потока при этом не изменится. Учитывая этот факт, получаем решение: v₂ = v₃ = A₁*v₁/(A₂ + A₃).

Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Швейцарский физик и математик голландского происхождения Даниил Бернулли в своей работе "Гидродинамика" (1734 год) представил уравнение идеальной жидкости, описывающее ее движение. Оно записывается в следующей форме:

P+ ρ*v²/2 + ρ*g*h = const.

Это выражение отражает закон сохранения энергии в случае течения жидкости. Так, первое слагаемое (P) - давление, направленное вдоль вектора перемещения жидкости, которое описывает работу потока, второе слагаемое (ρ*v²/2) - это кинетическая энергия текучей субстанции, и третье слагаемое (ρ*g*h) - это ее потенциальная энергия.

Напомним, что это уравнение справедливо для идеальной жидкости. В действительности же всегда существует трение текучей субстанции о стенки трубы и внутри ее объема, поэтому в приведенное уравнение Бернулли вводят дополнительный член, описывающий эти энергетические потери.

Использование уравнения Бернулли

Интересно привести некоторые изобретения, в которых используются выводы из уравнения Бернулли:

• Дымоход и вытяжки. Из уравнения следует, что чем больше скорость движения текучей субстанции, тем меньше ее давление. Скорость движения воздуха наверху дымохода больше, чем в его основании, поэтому поток дыма из-за разницы давлений всегда стремится вверх.
• Водопроводные трубы. Уравнение помогает понять, как изменится давление воды в трубе, если изменить диаметр последней.
• Самолеты и "Формула-1". Угол расположения крыльев самолета и антикрыла "Формулы-1" обеспечивает разность давления воздуха над и под крылом, что создает поднимающую и прижимающую силу соответственно.

Режимы течения жидкости

Уравнение Бернулли не учитывает режим движения жидкости, который может быть двух типов: ламинарный и турбулентный. Ламинарный поток характеризуется спокойным течением, при котором слои жидкости движутся по относительно плавным траекториям и не смешиваются между собой. Турбулентный режим движения жидкости характеризуется хаотичным перемещением каждой молекулы, составляющей поток. Особенностью турбулентного режима является наличие завихрений.

Каким способом будет течь жидкость, зависит от ряда факторов (особенности системы, например, наличия или отсутствия шероховатостей на внутренней поверхности трубы, вязкости субстанции и скорости ее перемещения). Переход между рассматриваемыми режимами движения описывается числами Рейнольдса.

Ярким примером ламинарного течения является медленное движение крови по гладким кровеносным сосудам. Пример турбулентного течения - сильный напор воды из крана.