Закон движения тела: определение, формулы

Каждый обращал внимание на все многообразие видов движения, с которыми он сталкивается в своей жизни. Однако любое механическое движение тела сводится к одному из двух типов: линейное или вращательное. Рассмотрим в статье основные законы движения тел.

О каких типах движения пойдет речь?

Как было отмечено во введении, все виды движения тела, которые рассматриваются в классической физике, связаны либо с прямолинейной траекторией, либо с круговой. Любые другие траектории можно получить благодаря комбинации этих двух. Далее в статье будут рассмотрены следующие законы движения тела:

1. Равномерное по прямой линии.
2. Равноускоренное (равнозамедленное) по прямой линии.
3. Равномерное по окружности.
4. Равноускоренное по окружности.
5. Движение по эллиптической траектории.

Равномерное движение, или состояние покоя

Этим движением с научной точки зрения начал интересоваться впервые Галилей в конце XVI - начале XVII века. Изучая инерционные свойства тела, а также введя понятие о системе отсчета, он догадался, что состояние покоя и равномерного движения - это одно и то же (все зависит от выбора объекта, относительно которого рассчитывают скорость).

Впоследствии Исаак Ньютон сформулировал свой первый закон движения тела, согласно которому скорость последнего является постоянной величиной всегда, когда нет внешних сил, изменяющих характеристики движения.

Равномерное прямолинейное перемещение тела в пространстве описывается следующей формулой:

s = v * t

Где s - расстояние, которое преодолеет тело за время t, двигаясь со скоростью v. Это простое выражение также записывается в следующих формах (все зависит от величин, которые известны):

v = s / t; t = s / v

Перемещение по прямой с ускорением

Согласно второму закону Ньютона, наличие внешней силы, действующей на тело, неминуемо приводит к появлению ускорения у последнего. Из определения ускорения (быстрота изменения скорости) следует выражение:

a = v / t или v = a * t

Если действующая на тело внешняя сила будет оставаться постоянной (не будет изменять модуля и направления), то ускорение также не изменится. Такой тип движения называется равноускоренным, где ускорение выступает коэффициентом пропорциональности между скоростью и временем (скорость растет линейно).

Для этого движения пройденный путь рассчитывается с помощью интегрирования скорости по времени. Закон движения тела для пути при равноускоренном перемещении приобретает форму:

s = a * t² / 2

Самым распространенным примером этого движения является падение любого предмета с высоты, при котором сила тяжести сообщает ему ускорение g = 9,81 м/с².

Прямолинейное ускоренное (замедленное) движение с наличием начальной скорости

По сути, речь идет о комбинации двух видов перемещения, рассмотренных в предыдущих пунктах. Представим простую ситуацию: автомобиль ехал с некоторой скоростью v₀, затем водитель нажал на тормоза, и транспортное средство через некоторое время остановилось. Как описать движение в этом случае? Для функции скорости от времени справедливо выражение:

v = v₀ - a * t

Здесь v₀ - начальная скорость (до торможения авто). Знак минус говорит о том, что внешняя сила (трения скольжения) направлена против скорости v₀.

Как и в предыдущем пункте, если взять интеграл по времени от v(t), то получаем формулу для пути:

s = v₀ * t - a * t² / 2

Отметим, что по этой формуле вычисляется только путь торможения. Чтобы узнать расстояние, пройденное автомобилем за все время его движения, следует найти сумму двух путей: для равномерного и для равнозамедленного движения.

В примере описанном выше, если бы водитель нажал не на педаль тормоза, а на педаль газа, тогда в представленных формулах поменялся бы знак "-" на "+".

Движение по окружности

Любое движение по окружности не может происходить без ускорения, поскольку даже при сохранении модуля скорости изменяется ее направление. Ускорение, которое связано с этим изменением, называется центростремительным (именно оно искривляет траекторию тела, превращая ее в окружность). Модуль этого ускорения вычисляют так:

a_c = v² / r, r - радиус

В этом выражении скорость может зависеть от времени, как это происходит в случае равноускоренного движения по окружности. В последнем случае a_c будет быстро расти (квадратичная зависимость).

Центростремительное ускорение определяет силу, которую нужно прикладывать, чтобы удерживать тело на круговой орбите. Примером являются соревнования по метанию молота, когда спортсмены прикладывают значительные усилия, чтобы раскрутить снаряд до его метания.

Вращение вокруг оси с постоянной скоростью

Этот вид движения идентичен предыдущему, только описывать его принято не с использованием линейных физических величин, а с применением угловых характеристик. Закон вращательного движения тела, когда угловая скорость не изменяется, в скалярной форме записывается так:

L =I * ω

Здесь L и I - моменты импульса и инерции, соответственно, ω - угловая скорость, которая с линейной связана равенством:

v = ω * r

Величина ω показывает, на сколько радиан повернется тело за секунду. Величины L и I имеют такой же смысл, как импульс и масса для прямолинейного движения. Соответственно, угол θ, на который повернется тело за время t, вычисляется так:

θ = ω * t

Примером этого типа движения является вращение маховика, находящегося на коленчатом вале в двигателе автомобиля. Маховик - это массивный диск, которому очень тяжело придать какое-либо ускорение. Благодаря этому он обеспечивает плавность изменения крутящего момента, который передается от двигателя к колесам.

Вращение вокруг оси с ускорением

Если к системе, которая способна вращаться, прикладывать внешнюю силу, то она начнет увеличивать свою угловую скорость. Такая ситуация описывается следующим законом движения тела вокруг оси вращения:

F * d = I * dω / dt

Здесь F - внешняя сила, которая приложена к системе на расстоянии d от оси вращения. Произведение в левой части равенства носит название момента силы.

Для равноускоренного движения по окружности получаем, что ω зависит от времени следующим образом:

ω = α * t, где α = F * d / I - угловое ускорение

В этом случае угол поворота за время t можно определить, проинтегрировав ω по времени, то есть:

θ = α * t² / 2

Если же тело уже вращалось с некоторой скоростью ω₀, а затем начал действовать внешний момент силы F*d, то по аналогии с линейным случаем можно записать такие выражения:

ω = ω₀ + α * t;

θ = ω₀ * t + α * t² / 2

Таким образом, появление внешнего момента сил является причиной наличия ускорения в системе с осью вращения.

Для полноты информации отметим, что изменить скорость вращения ω можно не только с помощью внешнего момента сил, но и благодаря изменению внутренних характеристик системы, в частности ее момента инерции. Эту ситуацию видел каждый человек, который наблюдал за вращением фигуристов на льду. Группируясь, спортсмены увеличивают ω за счет уменьшения I, согласно простому закону движения тела:

I * ω = const

Движение по эллиптической траектории на примере планет Солнечной системы

Как известно, наша Земля и другие планеты Солнечной системы вращаются вокруг своей звезды не по окружности, а по эллиптической траектории. Впервые математические законы для описания этого вращения сформулировал знаменитый немецкий ученый Иоганн Кеплер в начале XVII века. Используя результаты наблюдений своего учителя Тихо Браге за движением планет, Кеплер пришел к формулировке своих трех законов. Они формулируются следующим образом:

1. Планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам, причем Солнце расположено в одном из фокусов эллипса.
2. Радиус-вектор, который соединяет Солнце и планету, за равные промежутки времени описывает одинаковые площади. Этот факт следует из сохранения момента импульса.
3. Если поделить квадрат периода обращения на куб большой полуоси эллиптической орбиты планеты, то получается некоторая константа, которая одинакова для всех планет нашей системы. Математически это записывается так:

T² / a³ = С = const

Впоследствии Исаак Ньютон, используя эти законы движения тел (планет), сформулировал свой знаменитый закон всемирной гравитации, или тяготения. Применяя его, можно показать, что константа C в 3-м законе Кеплера равна:

C = 4 * pi² / (G * M)

Где G - гравитационная универсальная константа, а M - масса Солнца.

Отметим, что движение по эллиптической орбите в случае действия центральной силы (тяготения) приводит к тому, что линейная скорость v постоянно меняется. Она максимальна, когда планета находится ближе всего к звезде, и минимальна вдали от нее.