Вписанные и описанные пирамиды: примеры. Пирамида - геометрическая фигура

Пространственная геометрия занимается изучением свойств объемных фигур и их разного взаимного расположения. Данная статья посвящена исследованию характеристик такого полиэдра, как пирамида. Вписанные и описанные фигуры в конус и куб будут рассмотрены.

Пространственная фигура пирамида

Пирамида - геометрическая фигура, ограниченная n+1 гранью, из которых одна грань является многоугольником с n сторонами, и n граней представляют собой треугольники, соединенные между собой в одной вершине.

На рисунке ниже показаны две пирамиды.

Левая фигура состоит из 5 граней, где многоугольником является четырехугольник, правая - из шести граней, поскольку ее многоугольник имеет пять сторон. Четырехугольник для левой фигуры и пятиугольник для правой являются основаниями. Точка, где соединяются треугольники - это вершина пирамиды.

Как геометрическая фигура пирамида произвольного типа может быть получена так: необходимо взять n-угольник и соединить все его углы с некоторой фиксированной точкой в пространстве, которая, однако, не должна лежать в плоскости n-угольника.

Всякая пирамида состоит из n+1 стороны (грани), имеет 2*n ребер и n+1 вершину.

Какие бывают пирамиды?

Все виды пирамид в геометрии отличаются друг от друга двумя особенностями:

• типом многоугольного основания;
• расположением вершины пирамиды относительно основания.

Начнем с относительного положения вершины. Проведенный к основанию от нее перпендикуляр называется высотой фигуры. Если высота падает на основание точно в геометрический центр, тогда говорят, что пирамида является прямой. Если высота падает на основание в любой другой точке, то фигура является наклонной.

В соответствии с типом n-угольника различают выпуклые и вогнутые пирамиды. Кроме того, многоугольник дает название всей фигуре. Например, треугольное основание свидетельствует, что сама пирамида является треугольной, если основание четырехугольное, то фигура называется четырехугольной пирамидой и так далее.

Особый случай для решения многих практических задач составляют правильные пирамиды. В геометрии под ними понимают пирамиды, имеющие в основании правильный многоугольник и являющиеся прямыми. Набор правильных пирамид с разными многоугольниками в основании показан на рисунке ниже.

Далее в статье будем рассматривать только такие правильные фигуры при изучении вписанных и описанных пирамид.

Правильные многоугольники и окружность

Важно рассмотреть эти плоские фигуры, чтобы разобраться с темой вписанных и описанных пирамид. Начнем с самой простой из них - равностороннего треугольника.

Равносторонний треугольник имеет 3 одинаковые стороны и три угла по 60^o. Его геометрический центр (барицентр) находится в точке пересечения медиан, которая также является точкой пересечения высот и биссектрис. Если длина стороны треугольника равна a, тогда описанная вокруг него окружность будет проходить через все его вершины. Ее центром будет барицентр треугольника, а радиус будет равен:

R³_c = √3/3*a

Вписанная окружность будет касаться всех сторон треугольника. Ее центр будет находиться в той же точке, что и для описанной окружности. Радиус вписанной окружности будет равен:

R³_i = √3/6*a

Теперь приведем аналогичные формулы для правильного четырехугольника, то есть для квадрата. Не сложно показать, что радиусы окружностей, описанной и вписанной в квадрат, будут равны:

R⁴_c = a/√2;

R⁴_i = a/2

Где a - длина стороны квадрата.

Запишем формулы для правильного шестиугольника:

R⁶_c = a;

R⁶_i = a*√3/2

Здесь a - длина стороны правильного шестиугольника.

Все приведенные формулы пригодятся при рассмотрении вписанных и описанных пирамид по отношению к конусу.

Правильные многоугольники и квадрат

Перед рассмотрением вписанных в куб пирамид следует привести соответствующие формулы для длин сторон основания этих фигур, вписанных в квадрат. Здесь рассмотрим только два случая четырехугольной пирамиды.

В первом случае все просто, длина стороны куба и стороны квадратного основания равны, то есть:

a_i = l

Здесь a_i - сторона основания пирамиды, l - длина стороны куба.

Во втором случае правильную четырехугольную пирамиду можно вписать иначе в куб: вершины ее основания следует расположить на серединах сторон квадрата. Тогда получается следующая формула для a_i:

a_i = l/√2

Вписанные в конус пирамиды

Конус является объемной фигурой, которая в своем основании содержит круг. По сути, если увеличивать число сторон n-угольного основания пирамиды до бесконечности, то она перейдет в конус.

Вписанная в конус пирамида расположена полностью в его объеме, то есть не выходит за пределы основания конуса и его конической поверхности. Такая пирамида имеет общие точки с конусом в основании и в вершине.

Если известен радиус основания конуса, то приведенные выше формулы для определения сторон правильных многоугольников (треугольника, квадрата и шестиугольника), вписанных в окружность, позволяют вычислить длину стороны основания пирамиды. Например, стороны фигуры с правильным треугольным основанием через радиус основания конуса R³_c запишется так:

a = √3*R³_c

Зная сторону основания и высоту пирамиды h, можно определить любые ее характеристики. Например, объем вычисляется по формуле:

V = 1/3*S³_o*h

Где S³_o - площадь равностороннего треугольника со стороной a. Эта же формула справедлива для объема конуса, только вместо площади многоугольного основания следует взять площадь круга, на который опирается коническая поверхность.

Описанные вокруг конуса пирамиды

В этом случае имеем ситуацию, которая противоположна предыдущей. Теперь пирамида полностью внутри себя заключает конус. Последний имеет радиус основания, который связан с длиной стороны пирамиды приведенными формулами для вписанной в многоугольник окружности.

Например, если следует в шестиугольную пирамиду со стороной a поместить конус так, чтобы его основание касалось всех сторон шестиугольника, тогда необходимо взять радиус R⁶_i основания конуса, который будет равен:

R⁶_i = a*√3/2

Заметим, что высота, как описанного конуса, так и вписанного в пирамиду, всегда равна таковой для последней.

Куб и пирамида

Куб представляет собой правильный полиэдр, относящийся к классу призм. Высокая симметрия этой фигуры позволяет вписывать в него разные правильные пирамиды. Проще всего в него вписать четырехугольные пирамиды.

В самом простом случае вписанной пирамиды ее основание является одной из сторон куба. Вершина пирамиды будет лежать на противоположной параллельной грани куба в центре квадрата.

Второй вариант расположения пирамиды внутри куба заключается в следующем: если соединить середины одной из сторон куба друг с другом, то получится новый квадрат меньшего размера. Он будет основанием пирамиды. Вершина ее так же, как в предыдущем случае, будет расположена в середине противоположной грани куба.

Задача с конусом и пирамидой

Предположим, что имеется конусом описанная пирамида. Радиус конуса равен 10 см. Необходимо рассчитать объем пирамиды, если известно, что конус имеет высоту 15 см, а основание пирамиды - правильный треугольник.

Для вычисления стороны треугольника воспользуемся соответствующей формулой:

a = √3*R³_c = √3*10 ≈ 17,32 см

Для определения объема пирамиды следует вычислить площадь ее основания. Она равна:

S³_o = √3/4*a² = √3/4*17,32² ≈ 129,90 см²

Учитывая, что конус описан около пирамиды, тогда высоты этих фигур являются одинаковыми. Подставляем соответствующее значение в формулу для объема пирамиды, получаем ответ на задачу:

V = 1/3*S³_o*h = 1/3*129,90 *15 = 649,5 см³

Задача с кубом и пирамидой

Имеется куб со стороной a, в который вписана правильная четырехугольная пирамида. Необходимо вычислить отношение объема пирамиды к таковому для куба и выяснить, зависит ли полученная величина от длины стороны a.

Поскольку в задаче не сказано, как конкретно вписана пирамида, следует рассмотреть два случая.

В первом случае имеем пирамиду, длина основания которой равна a, высота ее также равна a. Тогда ее объем составит:

V₁ = 1/3*a³

Его отношение к объему V_c куба равно:

V₁/V_c = 1/3*a³/a³ = 1/3

Во втором случае вписанной пирамиды в куб сторона ее основания будет равна a/√2. Высота фигура остается той же самой. Тогда ее объем вычисляется так:

V₂ = 1/3*a*(a/√2)² = 1/6*a³

И его отношение к V_c будет равно:

V₂/V_c = 1/6*a³/a³ = 1/6

Таким образом, мы получили, что отношение объемов четырехугольной пирамиды, которая вписана в куб, и куба от длины ребра последнего не зависит.