Самые популярные системы счисления
Система счисления – это особый способ записи чисел с использованием определенного набора цифр - специальных знаков. Этот набор цифр представляет собой некое подобие алфавита, благодаря которому человек может прочесть записанное число.
В процессе развития цивилизации возникало множество систем записи чисел. Сначала это были примитивные кружочки, палочки или крючки, количество которых равнялось количеству подсчитанных предметов. В качестве цифр могли выступать и буквы алфавита, и даже слоги речи. В конечном итоге все прошлые и нынешние системы счисления можно разделить на три группы: позиционные системы, непозиционные и смешанные.
В непозиционных системах вес и значимость цифры не зависит напрямую от занимаемой в числе позиции. При этом накладываются определенные ограничения на порядок цифр, их расположение по возрастанию и убыванию. Например, всем известные римские цифры – это непозиционная система счисления.
Если в системе вес цифры напрямую изменяется в зависимости от места в последовательности, которой это число записано, то система считается позиционной. Например, число 888 записано одинаковыми цифрами, но они имеют разное количественное значение в зависимости от занимаемого места: 8 сотен, 8 десятков, 8 единиц.
Любую позиционную систему характеризует ее основание. В позиционной системе основание – это количество разнообразных символов или знаков, которые используются для записи цифр в данной системе. В качестве основания могут выступить любые натуральные числа. Таким образом, можно построить бесконечное множество различных позиционных систем. Сейчас широко используются десятичная система, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Давайте обсудим их подробней.
Десятичная система
Она пришла в Европу из Индии, где возникла не позднее 6 века н.э. В системе используется 10 цифр – от нуля до девяти. При этом информацию несет не только сама цифра, но и место, на котором она стоит.
Для десятичной системы число 10 и его степени являются особенно важными. Крайняя цифра в правой части числа изображает число единиц, за ней следует число десятков, сотен, тысяч и т.д.
Причина популярности и распространенности в мире десятичной системы счисления состоит в том, что первым счетным аппаратом человека явились его руки. Число пальцев и стало отправным пунктом для системы счета.
Двоичная система
В этой системе используются две цифры – один и ноль. Система строится вокруг числа два и его степеней. Крайняя правая цифра обозначает число единиц, следующая за ней – двоек, затем - четверок, восьмерок и т.д.
С помощью удобной двоичной системы любое натуральное число можно записать как последовательность нулей и единиц. Впрочем, двоичной записью можно закодировать не только числа, но и картинки, фильмы, тексты, аудиозаписи. Технически двоичное кодирование реализуется достаточно легко, поэтому оно нашло широкое применение в сфере технологий.
Восьмеричная система
В этой системе счисления восемь цифр – от нуля до семи. В младшем разряде цифра 1 обозначает просто единицу - так же , как и в десятичной системе. Но в следующем разряде единица означает 8, затем - 64 так далее. Число 100, записанное восьмеричным кодом, читается как десятичное 64.
Для перевода восьмеричного числа 611 в двоичную систему, необходимо заменить каждую цифру этого числа соответствующей двоичной триадой. А для обратного перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную необходимо выделить в нем триады справа налево, затем заменить каждую тройку цифр соответствующей цифрой из восьмеричной системы.
Шестнадцатеричная система
Число, записанное в восьмеричной системе, уже выглядит достаточно компактно. Но шестнадцатеричная система позволяет сделать запись еще компактней. От 1-й до 10-й цифры в этой системе используется обычная последовательность - от нуля до девяти, а вот в качестве следующих шести цифр (от 11 до 16) используются первые шесть букв латинского алфавита.
Как и в предыдущих системах, цифра один в младшем разряде обозначает единицу. В следующем разряде она превращается в 16 (из десятичной системы), еще в следующем – в 256 (из десятичной системы). Если цифра F стоит в младшем разряде, то она обозначает десятичное число 1.
Прямой и обратный перевод из этой системы счисления в двоичную производится аналогично рассмотренному выше переводу для восьмеричной системы.