Гидростатическое взвешивание: принцип действия, определение поддельности золотой короны

Многие свойства твердых тел и жидкостей, с которыми мы имеем дело в повседневной жизни, зависят от их плотности. Одним из точных и в то же время простых методов измерения плотности жидких и твердых тел является гидростатическое взвешивание. Рассмотрим, что это такое, и какой физический принцип лежит в основе его работы.

Закон Архимеда

Именно этот физический закон положен в основу гидростатического взвешивания. Традиционно его открытие приписывается греческому философу Архимеду, который смог определить подделку золотой короны, не разрушая ее и не проводя какой-либо химический анализ.

Можно следующим образом сформулировать закон Архимеда: погруженное в жидкость тело вытесняет ее, причем вес вытесненной жидкости равен действующей на тело вертикально вверх выталкивающей силе.

Многие замечали, что в воде гораздо легче держать какой-либо тяжелый предмет, чем на воздухе. Этот факт является демонстрацией действия выталкивающей силы, которая также называется архимедовой. То есть в жидкостях кажущийся вес тел меньше их реального веса на воздухе.

Гидростатическое давление и архимедова сила

Причиной появления выталкивающей силы, действующей на помещенное в жидкость абсолютно любое твердое тело, является гидростатическое давление. Оно вычисляется по формуле:

P = ρ_l * g * h

Где h и ρ_l - глубина и плотность жидкости соответственно.

Когда тело погружают в жидкость, то отмеченное давление действует на него со всех сторон. Суммарное давление на боковую поверхность оказывается равным нулю, а вот давления, приложенные к нижней и верхней поверхностям, будут отличаться, поскольку эти поверхности находятся на разной глубине. Такая разница приводит к появлению выталкивающей силы.

Согласно закону Архимеда погруженное тело в жидкость вытесняет вес последней, который равен выталкивающей силе. Тогда можно записать формулу для этой силы:

F_A = ρ_l * V_l * g

Символом V_l обозначен объем жидкости, вытесненной телом. Очевидно, что он будет равен объему тела, если последнее в жидкость погружено полностью.

Сила Архимеда F_A зависит только от двух величин (ρ_l и V_l ). Она не зависит от формы тела или от его плотности.

Что собой представляют гидростатические весы?

В конце XVI века их изобрел Галилей. Схематическое изображение весов показано на рисунке ниже.

По сути, это обычные весы, принцип работы которых основан на равновесии двух рычагов одинаковой длины. На концах каждого рычага имеется чашечка, где можно размещать грузы известной массы. Снизу одной из чашечек прикреплен крючок. Он применяется для подвешивания грузов. В комплекте с весами также идет стеклянный стакан или цилиндр.

На рисунке буквами A и B отмечены два металлических цилиндра равного объема. Один из них (A) является полым, другой (B) - сплошным. Эти цилиндры используют для демонстрации закона Архимеда.

Описанные весы используют для определения плотности неизвестных твердых тел и жидкостей.

Метод гидростатического взвешивания

Принцип работы весов предельно прост. Опишем его.

Предположим, что нам необходимо определить плотность некоторого неизвестного твердого тела, имеющего произвольную форму. Для этого тело подвешивают к крючку левой чаши весов и измеряют его массу. Затем в стакан наливают воду и, помещая стакан под подвешенным грузом, погружают его в воду. На тело начинает действовать архимедова сила, направленная вверх. Она приводит к нарушению установленного ранее равновесия весов. Для восстановления этого равновесия необходимо снять некоторое число гирь со второй чаши.

Зная массу измеряемого тела в воздухе и в воде, а также зная плотность последней, можно вычислить плотность тела.

Гидростатическое взвешивание позволяет также определить плотность неизвестной жидкости. Для этого необходимо произвольный груз, прицепленный к крючку, взвесить в неизвестной жидкости, а затем в жидкости, плотность которой точно определена. Измеренных данных достаточно, чтобы определить плотность неизвестной жидкости. Запишем соответствующую формулу:

ρ_l2 = ρ_l1 * m₂ / m₁

Здесь ρ_l1 - плотность известной жидкости, m₁ - измеренная масса тела в ней, m₂ - масса тела в неизвестной жидкости, плотность которой (ρ_l2) необходимо определить.

Определение поддельности золотой короны

Решим задачу, которую более двух тысяч лет назад решил Архимед. Воспользуемся гидростатическим взвешиванием золота для определения поддельности королевской короны.

С использованием гидростатических весов было установлено, что корона на воздухе имеет массу 1,3 кг, а в дистиллированной воде ее масса составила 1,17 кг. Является ли корона золотой?

Разница весов короны на воздухе и в воде равна выталкивающей силе Архимеда. Запишем это равенство:

F_A = m₁ * g - m₂ * g

Подставим в равенство формулу для F_A и выразим объем тела. Получим:

m₁ * g - m₂ * g = ρ_l * V_l * g =>

V_s = V_l = (m₁ - m₂) / ρ_l

Объем вытесненной жидкости V_l равен объему тела V_s, поскольку оно полностью погружено в воду.

Зная объем короны, можно легко рассчитать ее плотность ρ_s по следующей формуле:

ρ_s = m₁ / V_s = m₁ * ρ_l / (m₁ - m₂)

Подставим в это равенство известные данные, получаем:

ρ_s = 1,3 * 1000 / (1,3 - 1,17) = 10 000 кг/м³

Мы получили плотность металла, из которого сделана корона. Обращаясь к таблице плотностей, видим, что эта величина для золота равна 19320 кг/м³.

Таким образом, корона в эксперименте изготовлена не из чистого золота.