Булевы функции, конъюнкция, дизъюнкция. Логические функции

Встречаются электронные таблицы, в которых необходимо применить логические функции, логические схемы разного порядка. На помощь приходит программный пакет Microsoft Excel. Он способен не только вычислить логическое значение выражения, но и провести сложные математические расчеты.

Что такое Excel?

Программный продукт, предназначенный для работы с электронными таблицами. Создан корпорацией Microsoft и подходит почти к любой операционной системе. Здесь можно использовать как формулы для нахождения результатов, так и построить графики и диаграммы различных видов.

Пользователь применяет в Excel не только логические функции, но и математические, статистические, финансовые, текстовые и т. д.

Особенности Excel

Сферы применения программного продукта разнообразны:

• Рабочий лист Excel представляет собой готовую таблицу, поэтому у пользователя отпадает необходимость в проведении расчетов по приведению документа к надлежащему виду.
• Программный пакет предлагает использовать булевы функции, а также тригонометрические, статистические, текстовые и т. д.
• На основе вычислений Excel строит графики и диаграммы.
• Поскольку программный пакет содержит большую библиотеку математических и статистических функций, школьники и студенты могут использовать его для выполнения лабораторных и курсовых работ.
• Пользователю полезно применять возможности Excel для домашних и личных расчетов.
• В программный продукт встроен язык программирования VBA, способный облегчит жизнь бухгалтеру при автоматизации рабочего процесса небольшой фирмы.
• Электронная таблица Excel выступает и как база данных. Полностью функционал реализуется только с версии 2007 года. В ранних продуктах было ограничение по количеству строк.
• При создании отчетности различной направленности Excel приходит на помощь, поскольку помогает создать сводную таблицу.

Логические операторы Excel

Под логическими выражениями понимаются данные, необходимые для записи элементов, в которых конъюнкция и дизъюнкция, а также другие операторы, сопоставляют числа, формулы, текст. С их помощью сообщение записывают в символьном виде с указанием действия.

Логические функции (иначе называемые булевы) в качестве элементов задействуют числа, текст, ссылки с адресами ячеек.

Изучить подробнее каждый оператор и его синтаксис можно несколькими способами:

• Вызвать «Мастер функций».
• Воспользоваться справкой Microsoft через F1.
• В версиях Excel от 2007 года изучить состав каждой категории на панели инструментов.

Булева алгебра

Основателем логики высказываний (иное название раздела математики) является Д. Буль, занимавшийся в юности переводами работ древнегреческих философов. Именно оттуда он почерпнул знания и предложил ввести специальные обозначения для высказываний: 1 – Истина, 0 – Ложь.

Булевой алгеброй называют раздел математики, изучающий высказывания, рассматривающий их в качестве логических значений и совершаемые над ними операции. Любое утверждение можно закодировать, а затем использовать, манипулировать им для доказательства истинности или ложности.

Булевой функцией называют f(x₁, x₂, ... , x_n), от n переменных, если функция или любой из ее операторов принимает значения только из множества {0;1}. Законы алгебры логики применяются при решении задач, в программировании, кодировании и т. д.

Отображать булеву функцию можно следующими способами:

• словесным (утверждением, записанным в текстовом виде);
• табличным;
• численным;
• графическим;
• аналитическим;
• координатным.

Функция «И»

Оператор «И» является конъюнкцией в программном пакете Excel. Иначе она называется логическим умножением. Обозначается обычно ∧, &, * или знак между операндами вовсе опускается. Функция нужна для определения правдивости введенного выражения. В булевой алгебре конъюнкция принимает значения из множества, и результат вычисления также записывается в него. Логическое умножение бывает:

• бинарным, поскольку содержит 2 операнда;
• тернарным, если имеется 3 множителя;
• n-арным, если множество содержит n операндов.

Решить пример можно через согласование с правилом либо через создание таблицы истинности. Если выражение содержит несколько операндов, удобнее воспользоваться программным пакетом Excel для второго способа решения, поскольку весь процесс при вычислениях вручную будет громоздким.

Результатом вычислений могут быть:

• Истина: если все аргументы правдивы.
• Ложь: если все критерии ложны или хотя бы один из них.

Операторы «И» и «ИЛИ» могут содержать до 30 критериев.

Пример.

1) Необходимо определить истинность вписанных данных. Очевидно, что последний пример, заключенный в скобках, неверен с математической точки зрения, поэтому функция выдаст ответ «Ложь».

2) В двух ячейках указаны противоположные значения. Функция «И» выдает результат «Ложь», поскольку один из аргументов неправдив.

3) Заданы арифметические действия. Необходимо проверить их истинность. Данный оператор выдает ответ «Истина», поскольку с арифметической точки зрения все верно.

Функция «ИЛИ»

Оператор «ИЛИ» в категории «Логические функции» является дизъюнкцией, т. е. позволяет получить правдивый ответ в некатегоричной форме. Иное название оператора в булевой алгебре: логическое сложение. Обозначают: ∨, +, «или». Переменные берут значения из множества и туда же записывается ответ.

Результатом вычислений бывают:

• Истина: если хотя бы один из аргументов или все они являются правдивыми.
• Ложь: если все критерии ложны.

Пример.

1) Дизъюнкция в Excel проверяет не только логические выражения, но и математические на правильность. Так, в конкретном случае оба результата ложны с арифметической точки зрения, поэтому ответ – «Ложь».

2) Оператор выдает ответ «Истина», поскольку один из аргументов правдивый, другой ложный. Это является допустимым критерием для дизъюнкции.

Функция «ЕСЛИ»

В группе «Логические функции» почетное место занимает оператор «ЕСЛИ». Функция необходима для получения результата, если информация правдива, и другого итога, если данные ложны.

• В условном операторе возможна проверка до 64 условий за 1 раз.
• Если один из критериев – массив, тогда функция проверяет каждый элемент.
• Если ответ ложный, но в формуле не прописано, чему должен равняться итог в случае «False», тогда оператор выдает результат, равный 0.

Пример.

Дано:

• наименование товара;
• его цена за 1 единицу;
• количество приобретенного товара;
• стоимость.

Необходимо рассчитать графу «К оплате». Если стоимость покупки превышает 1000 рублей, то покупателю предоставляется скидку в 3 %. В противном случае графы «ИТОГО» и «К оплате» одинаковы.

1) Проверка условия: стоимость превышает 1000 рублей.

2) В случае истинности критерия стоимость умножается на 3 %.

3) В случае ложности высказывания результат «К оплате» не отличается от «ИТОГО».

Проверка нескольких условий

Имеется таблица, в которой указаны баллы за экзамен и отметка преподавателя.

1) Нужно проверить, меньше ли сумма баллов 35. Если ответ истинный, то результат работы – «Не сдал».

2) Если предыдущее условие ложное, сумма баллов >35, оператор переходит к проверке следующего аргумента. Если значение в ячейке >=75, то рядом присваивается «Отлично». При иных вариантах функция вернет «Сдал».

Несмотря на то что оператор «Если» работает с логическими значениями, он прекрасно действует и с числами.

Пример.

Даны:

• имена продавцов;
• их продажи.

Следует вычислить, кому из продавцов какая комиссия причитается:

• если количество продаж менее 50 тысяч, то процент не начисляется;
• если объем сделок варьируется в пределах 50-100 тысяч, то комиссия составляет 2 %;
• если количество продаж более 100 тысяч, то премия выписывается в размере 4 %.

Под цифрой 1 отмечен первый блок «ЕСЛИ», где проверяется на истинность. Если условие ложно, то выполняется блок 2, где прописываются дополнительно еще 2 критерия.

Функция «ЕСЛИОШИБКА»

Булевы функции дополняются данным оператором, поскольку он способен вернуть некий результат, если в формуле имеется ошибка. Если все верно, «ЕСЛИОШИБКА» возвращает результат вычислений.

Функция «ИСТИНА» и «ЛОЖЬ»

Булевы функции в Excel не обходятся без оператора «ИСТИНА». Он возвращает соответствующее значение.

Оператором, обратным по действию «ИСТИНЕ» является «ЛОЖЬ». Обе функции не имеют аргументов и крайне редко используются в качестве самостоятельного примера.

Оператор «НЕ»

Все логические функции в Excel можно опровергнуть посредством оператора «НЕ». Введенное значение при использовании данной процедуры будет в результате противоположным.

Пример.

Очевидно, что оператор выдает ответ, противоположный изначальным данным.

Минимизация логических функций

Это явление напрямую связано с созданием схемы или цепи. Это выражается через ее сложность и стоимость, пропорциональность числа логических операций и количество вхождений аргументов. Если использовать аксиомы и теоремы логики, можно упростить функцию.

Существуют специальные алгоритмические методы минимизации. Благодаря им пользователь способен самостоятельно упростить функцию быстро и без ошибок. Среди таких методов выделяют:

• карты Карно;
• метод Квайна;
• алгоритм импликантных матриц;
• метод Квайна-Мак-Класки и т. д.

Если количество аргументов не превышает 6, тогда пользователю для наглядности лучше использовать метод карт Карно. В противном случае применяется алгоритм Квайна-Мак-Класки.