Что это - нормальное ускорение? Причина его возникновения и формула. Пример задачи

Движение - это физический процесс, который предполагает изменение пространственных координат тела. Для описания движения в физике используют специальные величины и понятия, главным из которых является ускорение. В этой статье изучим вопрос, что это - нормальное ускорение.

Общее определение

Под ускорением в физике понимают быстроту изменения скорости. Сама скорость - это векторная кинематическая характеристика. Поэтому в определении ускорения имеется в виду не только изменение абсолютного значения, но также и изменение направления скорости. Как выглядит формула? Для полного ускорения a¯ она записывается в следующем виде:

a¯ = dv¯/dt

То есть для вычисления величины a¯ необходимо найти производную вектора скорости по времени в данный момент. Формула показывает, что a¯ измеряется в метрах в секунду в квадрате (м/с²).

Направление полного ускорения a¯ никак не связано с вектором v¯. Однако оно совпадает с вектором dv¯.

Причиной появления у движущихся тел ускорения является действующая на них внешняя сила любой природы. Ускорение никогда не возникает, если внешняя сила равна нулю. Направление действия силы совпадает с направлением ускорения a¯.

Криволинейная траектория

В общем случае рассмотренная величина a¯ имеет две составляющие: нормальную и касательную. Но прежде всего напомним, что такое траектория. В физике под траекторией понимают линию, вдоль которой тело проходит некоторый путь в процессе движения. Поскольку траектория может представлять собой либо прямую линию, либо кривую, то движение тел делится на два типа:

• прямолинейное;
• криволинейное.

В первом случае вектор скорости тела может измениться только на противоположный. Во втором же случае вектор скорости и ее абсолютное значение изменяются постоянно.

Как известно, скорость направлена по касательной к траектории. Этот факт позволяет ввести следующую формулу:

v¯ = v * u¯

Здесь u¯ - единичный касательный вектор. Тогда выражение для полного ускорения запишется в виде:

a¯ = dv¯/dt = d(v * u¯)/dt = dv/dt * u¯ + v * du¯/dt.

При получении равенства мы воспользовались правилом вычисления производной от произведения функций. Таким образом, полное ускорение a¯ представляется в виде суммы двух компонент. Первая является его касательной составляющей. В этой статье она не рассматривается. Лишь отметим, что она характеризует изменение модуля скорости v¯. Второе же слагаемое - это нормальное ускорение. О нем ниже в статье.

Нормальное ускорение точки

Обозначим эту компоненту ускорения символом a_n¯. Запишем для нее выражение еще раз:

a_n¯ = v * du¯/dt

Уравнение нормального ускорения a_n¯ можно записать в явном виде, если провести следующие математические преобразования:

a_n¯ = v * du¯/dt = v * du¯/d l* dl/dt = v²/r * r_e¯.

Здесь l - это пройденный телом путь, r - радиус кривизны траектории, r_e¯ - единичный радиус-вектор, который направлен к центру кривизны. Это равенство позволяет сделать некоторые важные выводы касательно вопроса, что это нормальное ускорение. Во-первых, оно не зависит от изменения модуля скорости и пропорционально абсолютному значению величины v¯, во-вторых, оно направлено к центру кривизны, то есть вдоль нормали к касательной в данной точке траектории. Именно поэтому компонента a_n¯ получила название нормального или центростремительного ускорения. Наконец, в третьих, a_n¯ обратно пропорционально радиусу кривизны r, что каждый ощущал экспериментально на себе, когда являлся пассажиром автомобиля, входящего в затяжной и крутой поворот.

Центростремительная и центробежная силы

Выше отмечалось, что причиной появления любого ускорения является сила. Поскольку нормальное ускорение - это компонента полного ускорения, которая направлена к центру кривизны траектории, то должна существовать некоторая центростремительная сила. Ее природу проще всего проследить на различных примерах:

• Раскручивание камня, привязанного к концу веревки. В этом случае центростремительной является сила натяжения веревки.
• Затяжной поворот автомобиля. Центростремительной является сила трения покрышек авто о поверхность дороги.
• Вращение планет вокруг Солнца. Гравитационное притяжение играет роль рассматриваемой силы.

Во всех названных примерах сила центростремительная приводит к изменению прямолинейной траектории. В свою очередь, ей препятствуют инерционные свойства тела. С ними связывают центробежную силу. Эта сила, действуя на тело, пытается "выбросить" его из криволинейной траектории. Например, когда авто делает поворот, то пассажиров прижимает к одной из дверей транспортного средства. Это и есть действие центробежной силы. Она, в отличие от центростремительной, является фиктивной.

Пример задачи

Как известно, наша Земля вращается по круговой орбите вокруг Солнца. Необходимо определить нормальное ускорение голубой планеты.

Для решения задачи воспользуемся формулой:

a_n = v²/r.

Из справочных данных находим, что линейная скорость v нашей планеты составляет 29,78 км/с. Расстояние r до нашей звезды равно 149 597 871 км. Переводя эти числа в метры в секунду и метры, соответственно, подставляя их в формулу, получаем ответ: a_n = 0,006 м/с², что составляет 0,06 % от величины ускорения свободного падения на планете.