Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона). Вывод уравнения идеального газа

Газ является одним из четырех агрегатных состояний окружающей нас материи. Это состояние вещества человечество начало изучать с применением научного подхода, начиная с XVII века. В приведенной ниже статье изучим, что такое идеальный газ, и уравнение какое описывает его поведение при различных внешних условиях.

Понятие о газе идеальном

Каждый человек знает, что воздух, которым мы дышим, или природный метан, который мы используем для обогрева домов и приготовления пищи, это яркие представители газового состояния материи. В физике для изучения свойств этого состояния было введено понятие идеального газа. Это понятие предполагает использование ряда предположений и упрощений, которые не являются существенными при описании базовых физических характеристик вещества: температуры, объема и давления.

Итак, идеальным газом называется текучая субстанция, которая удовлетворяет следующие условия:

1. Частицы (молекулы и атомы) движутся хаотично в разных направлениях. Благодаря этому свойству в 1648 году Ян Баптиста ван Гельмонт ввел понятие "газ" ("хаос" с древнегреческого).
2. Частицы не взаимодействуют друг с другом, то есть межмолекулярными и межатомными взаимодействиями можно пренебречь.
3. Столкновения между частицами и со стенками сосуда являются абсолютно упругими. В результате таких столкновений сохраняется кинетическая энергия и количество движения (импульс).
4. Каждая частица представляет собой материальную точку, то есть она имеет некоторую конечную массу, но ее объем равен нулю.

Совокупность изложенных условий соответствует понятию идеального газа. Все известные реальные вещества с высокой точностью соответствуют введенной концепции при высоких температурах (комнатной и выше) и низких давлениях (атмосферного и ниже).

Закон Бойля-Мариотта

Прежде чем записать уравнение состояния идеального газа, приведем ряд частных законов и принципов, экспериментальное открытие которых привело к выводу этого уравнения.

Начнем с закона Бойля-Мариотта. В 1662 году британский физико-химик Роберт Бойль и в 1676 французский физико-ботаник Эдм Мариотт независимо установили следующий закон: если температура в газовой системе остается постоянной, то создаваемое газом давление в ходе любого термодинамического процесса оказывается обратно пропорциональным его объему. Математически эта формулировка может быть записана следующим образом:

P * V = k₁ при T = const, где

• P, V - давление и объем идеального газа;
• k₁ - некоторая константа.

Проводя эксперименты с химически различными газами, ученые установили, что величина k₁ не зависит от химической природы, но зависит от массы газа.

Переход между состояниями с изменением давления и объема при сохранении температуры системы называется изотермическим процессом. Таким образом, изотермы идеального газа на графике представляют собой гиперболы зависимости давления от объема.

Закон Шарля и Гей-Люссака

В 1787 году французский ученый Шарль и в 1803 году другой француз Гей-Люссак эмпирическим путем установили еще один закон, который описывал поведение идеального газа. Его можно сформулировать так: в закрытой системе при постоянном давлении газа увеличение температуры приводит к пропорциональному увеличению объема и, наоборот, уменьшение температуры ведет к пропорциональному сжатию газа. Математическая формулировка закона Шарля и Гей-Люссака записывается так:

V / T = k₂ при P = const.

Переход между состояниями газа с изменением температуры и объема и при сохранении давления в системе называется изобарным процессом. Константа k₂ определяется значением давления в системе и массой газа, но не его химической природой.

На графике функция V (T) представляет собой прямую линию с тангенсом угла наклона k₂.

Понять этот закон можно, если привлечь положения молекулярно-кинетической теории (МКТ). Так, увеличение температуры приводит к увеличению кинетической энергии газовых частиц. Последнее способствует повышению интенсивности столкновений их со стенками сосуда, что увеличивает давление в системе. Чтобы это давление сохранить постоянным, необходимо объемное расширение системы.

Закон Гей-Люссака

Уже упомянутый французский ученый в начале XIX века установил еще один закон, связанный с термодинамическими процессами идеального газа. Этот закон гласит: если в газовой системе сохраняется постоянный объем, то увеличение температуры сказывается на пропорциональном повышении давления, и наоборот. Формула закона Гей-Люссака выглядит так:

P / T = k₃ при V = const.

Снова мы имеем константу k₃, зависящую от массы газа и его объема. Термодинамический процесс при постоянном объеме называется изохорным. Изохоры на графике P (T) выглядят так же, как изобары, то есть представляют собой прямые линии.

Принцип Авогадро

При рассмотрении уравнения состояния идеального газа часто дают характеристику только трем законам, которые представлены выше и которые являются частными случаями этого уравнения. Тем не менее существует еще один закон, который принято называть принципом Амедео Авогадро. Он также представляет собой частный случай уравнения идеального газа.

В 1811 году итальянец Амедео Авогадро в результате многочисленных экспериментов с разными газами пришел к следующему выводу: если давление и температура в газовой системе сохраняется, то ее объем V находится в прямой пропорциональности от количества вещества n. При этом неважно, какой химической природы является вещество. Авогадро установил следующее соотношение:

n / V = k_4,

где константа k₄ определяется давлением и температурой в системе.

Принцип Авогадро иногда формулируют так: объем, который занимает 1 моль идеального газа при данной температуре и давлении, является всегда одним и тем же, независимо от его природы. Напомним, что 1 моль вещества - это число N_A, отражающее количество элементарных единиц (атомов, молекул), составляющих вещество (N_A = 6,02 * 10²³).

Закон Менделеева-Клапейрона

Теперь пришло время вернуться к главной теме статьи. Любой идеальный газ в состоянии равновесия может быть описан следующим равенством:

P * V = n * R * T.

Это выражение называется законом Менделеева-Клапейрона - по фамилиям ученых, которые внесли огромный вклад в его формулировку. Закон гласит, что произведение давления на объем газа является прямо пропорциональным произведению количества вещества этого газа на его температуру.

Клапейрон впервые получил этот закон, обобщая результаты исследований Бойля-Мариотта, Шарля, Гей-Люссака и Авогадро. Заслуга же Менделеева в том, что он придал основному уравнению идеального газа современную форму, введя константу R. Клапейрон в своей математической формулировке использовал набор констант, что делало неудобным использование этого закона для решения практических задач.

Введенная Менделеевым величина R называется универсальной газовой постоянной. Она показывает, какую работу совершает 1 моль газа любой химической природы в результате изобарного расширения при увеличении температуры на 1 кельвин. Через постоянную Авогадро N_A и константу Больцмана k_B эта величина рассчитывается так:

R = N_A * k_B = 8,314 Дж/(моль*К).

Вывод уравнения

Современное состояние термодинамики и статистической физики позволяет получить несколькими различными способами уравнение идеального газа, записанное в предыдущем пункте.

Первый способ заключается в обобщении всего двух эмпирических законов: Бойля-Мариотта и Шарля. Из этого обобщения следует вид:

P * V / T = const.

Именно так поступил Клапейрон в 30-е годы XIX века.

Второй способ заключается в привлечении положений МКТ. Если рассмотреть импульс, который передает при столкновении со стенкой сосуда каждая частица, учесть связь этого импульса с температурой, а также учесть число частиц N в системе, то можно записать из кинетической теории уравнение идеального газа в таком виде:

P * V = N * k_B * T.

Умножив и поделив правую часть равенства на число N_A, мы получим уравнение в том виде, в котором оно записано в пункте выше.

Существует третий более сложный способ получения уравнения состояния идеального газа - из статистической механики с использованием понятия свободной энергии Гельмгольца.

Запись уравнения через массу газа и плотность

Выше на рисунке записано уравнение газа идеального. В нем фигурирует количество вещества n. Однако на практике часто известна переменная или постоянная масса идеального газа m. В этом случае уравнение запишется в такой форме:

P * V = m / M * R * T.

M - масса молярная для данного газа. Например, для кислорода O₂ она равна 32 г/моль.

Наконец, преобразуя последнее выражение, можно переписать его так:

P = ρ / M * R * T

Где ρ - плотность субстанции.

Смесь газов

Смесь идеальных газов описывается так называемым законом Дальтона. Этот закон следует из уравнения идеального газа, которое применимо для каждого компонента смеси. Действительно, каждый компонент занимает весь объем и имеет одинаковую с другими компонентами смеси температуру, что позволяет записать:

P = ∑_iP_i = R * T / V * ∑_in_i.

То есть полное давление в смеси P равно сумме парциальных давлений P_i всех компонент.