Аналитический сигнал: понятие, формулы определения и применение

В математике и обработке понятие аналитического сигнала (для краткости - С, АС) является комплексной функцией, которая не имеет отрицательных частотных составляющих. Действительная и мнимая части этого явления являются вещественными функциями, связанными друг с другом преобразованием Гильберта. Аналитический сигнал - это в химии довольно распространенное явление, суть которого аналогична математическому определению этого понятия.

Представления

Аналитическое представление вещественной функции - это аналитический сигнал, содержащий исходную функцию и ее преобразование Гильберта. Это представление облегчает многие математические манипуляции. Основная идея состоит в том, что отрицательные частотные компоненты преобразования Фурье (или спектра) вещественной функции избыточны из-за эрмитовой симметрии такого спектра. Эти отрицательные частотные компоненты могут быть отброшены без потери информации, при условии, что вместо этого вы захотите иметь дело со сложной функцией. Это делает определенные атрибуты функции более доступными и облегчает вывод методов модуляции и демодуляции, таких как однополосная полоса.

Отрицательные компоненты

Пока манипулируемая функция не имеет отрицательных частотных компонентов (то есть она все еще аналитическая), преобразование из сложного обратно в реальное - это просто вопрос отбрасывания мнимой части. Аналитическое представление является обобщением концепции вектора: в то время как вектор ограничен неизменяемой во времени амплитудой, фазой и частотой, качественный анализ аналитического сигнала допускает переменные во времени параметры.

Мгновенная амплитуда, мгновенная фаза и частота в некоторых приложениях используются для измерения и обнаружения локальных особенностей С. Другое применение аналитического представления относится к демодуляции модулированных сигналов. Полярные координаты удобно разделяют эффекты амплитудной модуляции и фазовой (или частотной) модуляции и эффективно демодулируют определенные виды.

Тогда простой фильтр нижних частот с реальными коэффициентами может обрезать интересующую часть. Другим мотивом является снижение максимальной частоты, что снижает минимальную частоту для выборки без псевдонимов. Сдвиг частоты не подрывает математическую пригодность представления. Таким образом, в этом смысле преобразованный с понижением все еще является аналитическим. Однако восстановление вещественного представления больше не является простым делом простого извлечения реального компонента. Может потребоваться преобразование с повышением частоты, и, если сигнал дискретизирован (дискретное время), может также потребоваться интерполяция (повышающая дискретизацию), чтобы избежать наложения.

Переменные

Концепция четко определена для феноменов одной переменной, которая обычно является временной. Эта временность смущает многих начинающих математиков. Для двух или более переменных аналитический С может быть определен по-разному, и два подхода представлены ниже.

Действительная и мнимая части этого феномена соответствуют двум элементам векторнозначного моногенного сигнала, как это определено для аналогичных феноменов с одной переменной. Тем не менее моногенный может быть расширен до произвольного числа переменных простым способом, создавая (n + 1) -мерную векторную функцию для случая n-переменных сигналов.

Преобразование сигналов

Вы можете преобразовать вещественный сигнал в аналитический, добавив мнимый (Q) компонент, который является преобразованием Гильберта реального компонента.

Кстати, это не ново для его цифровой обработки. Один из традиционных способов генерации AM с одной боковой полосой (SSB) - метод фазирования - включает в себя создание сигналов путем генерации преобразования Гильберта аудиосигнала в аналоговой сети резистор-конденсатор. Поскольку он имеет только положительные частоты, его легко преобразовать в модулированный РЧ-сигнал только с одной боковой полосой.

Формулы определения

Аналитическое выражение сигнала - это голоморфная комплексная функция, определенная на границе верхней комплексной полуплоскости. Граница верхней полуплоскости совпадает с рандомом, поэтому С задается отображением fa: R → C. Начиная с середины прошлого века, когда в 1946 году Дени Габор предложил использовать этот феномен для изучения постоянной амплитуды и фазы, сигнал нашел множество применений. Особенность этого явления была подчеркнута [Vak96], где было показано, что только качественный анализ аналитического сигнала соответствует физическим условиям для амплитуды, фазы и частоты.

Последние достижения

В течение последних нескольких десятилетий появился интерес к исследованию сигнала во многих измерениях, мотивированных проблемами, возникающими в областях, от обработки изображения / видео до многомерных колебательных процессов в физике, таких как сейсмические, электромагнитные и гравитационные волны. В основном было принято, что для правильного обобщения аналитического С (качественного анализа) на случай нескольких измерений следует полагаться на алгебраическую конструкцию, которая расширяет обычные комплексные числа удобным образом. Такие конструкции обычно называют гиперкомплексными числами [SKE].

Наконец, следует иметь возможность построить гиперкомплексный аналитический сигнал fh: Rd → S, где представлена ​​некоторая общая гиперкомплексная алгебраическая система, которая естественным образом расширяет все требуемые свойства для получения мгновенной амплитуды и фазы.

Изучение

Ряд работ посвящен различным вопросам, связанным с правильным выбором гиперкомплексной системы счисления, определение гиперкомплексного преобразования Фурье и дробных преобразований Гильберта для изучения мгновенной амплитуды и фазы. В основном эти работы были основаны на свойствах различных пространств, таких как Cd, кватернионы, алгебры Клирона и конструкции Кэли-Диксона.

Далее мы перечислим лишь некоторые из работ, посвященных исследованию сигнала во многих измерениях. Насколько нам известно, первые работы по многомерному методу были получены в начале 1990-х годов. К ним можно отнести работу Элл [Ell92] по гиперкомплексным преобразованиям; работу Бюлова по обобщению метода аналитической реакции (аналитического сигнала) на многие измерения [BS01] и работу Фельсберга и Соммера о моногенных сигналах.

Дальнейшие перспективы

Ожидается, что гиперкомплексный сигнал расширит все полезные свойства, которые мы имеем в одномерном случае. Прежде всего мы должны быть в состоянии извлечь и обобщить мгновенную амплитуду и фазу к измерениям. Во-вторых, спектр Фурье сложного аналитического сигнала поддерживается только на положительных частотах, поэтому мы ожидаем, что гиперкомплексное преобразование Фурье будет иметь свой гиперзначный спектр, который будет поддерживаться только в некотором положительном квадранте гиперкомплексного пространства. Потому это очень важно.

В-третьих, сопряженные части сложного понятия аналитического сигнала связаны с преобразованием Гильберта, и мы можем ожидать, что сопряженные компоненты в гиперкомплексном пространстве должны быть связаны также некоторой комбинацией преобразований Гильберта. И, наконец, действительно, гиперкомплексный сигнал должен быть определен как продолжение некоторой гиперкомплексной голоморфной функции нескольких гиперкомплексных переменных, определенных на границе некоторой формы в гиперкомплексном пространстве.

Мы решаем эти проблемы в последовательном порядке. Прежде всего, мы начнем с рассмотрения интегральной формулы Фурье и покажем, что преобразование Гильберта в 1-D связано с модифицированной интегральной формулой Фурье. Этот факт позволяет нам определять мгновенную амплитуду, фазу и частоту без какой-либо ссылки на гиперкомплексные системы счисления и голоморфные функции.

Модифицирование интегралов

Мы продолжаем, обобщая модифицированную формулу интеграла Фурье на несколько измерений, и определяем все необходимые сдвинутые по фазе компоненты, которые мы можем собрать в мгновенную амплитуду и фазу. Во-вторых, мы обратимся к вопросу о существовании голоморфных функций нескольких гиперкомплексных переменных. После работы [Sch93] выясняется, что коммутативная и ассоциативная алгебра гиперкомплекса, порожденная набором эллиптических (e2i = −1) генераторов, является подходящим пространством, для того чтобы гиперкомплексный аналитический сигнал мог жить, мы называем такую ​​гиперкомплексную алгебру пространством Шеферса и обозначаем ее Sd.

Поэтому гиперкомплекс аналитических сигналов определяется как голоморфная функция на границе полидиска / верхней половины плоскости в некотором гиперкомплексном пространстве, которое мы называем общим пространством Шеферса, и обозначаем через Sd. Затем мы наблюдаем справедливость интегральной формулы Коши для функций Sd → Sd, которые вычисляются по гиперповерхности внутри полидиска в Sd и выводят соответствующие дробные преобразования Гильберта, которые связывают гиперкомплексные сопряженные компоненты. Наконец, оказывается, что преобразование Фурье со значениями в пространстве Шеферса поддерживается только на неотрицательных частотах. Благодаря этой статье вы узнали, что является аналитическим сигналом.