Уравнения плоскости. Угол между двумя плоскостями

Плоскость, наряду с точкой и прямой линией, является базовым геометрическим элементом. С его использованием строятся многие фигуры в пространственной геометрии. В данной статье рассмотрим подробнее вопрос о том, как между двумя плоскостями угол найти.

Понятие

Прежде чем говорить об угле между двумя плоскостями, следует хорошо разобраться, о каком элементе в геометрии пойдет речь. Разберемся в терминологии. Плоскость представляет собой нескончаемую совокупность точек в пространстве, соединяя между собой которые, мы получим вектора. Последние будут по отношению к некоторому одному вектору перпендикулярны. Его принято называть нормалью к плоскости.

На рисунке выше показана плоскость и два нормальных вектора к ней. Видно, что лежат на одной прямой оба вектора. Угол между ними составляет 180^o.

Уравнения

Между двумя плоскостями угол можно определить, если известно математическое уравнение рассматриваемого геометрического элемента. Существует несколько видов подобных уравнений, названия которых перечислены ниже:

• общего типа;
• векторное;
• в отрезках.

Эти три вида являются наиболее удобными при решении различного рода задач, поэтому они чаще всего используются.

Уравнение общего типа выглядит следующим образом:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Здесь x, y, z - координаты произвольной точки, принадлежащей данной плоскости. Параметры A, B, C и D представляют собой числа. Удобство этой формы записи заключается в том, что числа A, B, C являются координатами нормального к плоскости вектора.

Векторная форма записи плоскости может быть представлена следующим образом:

x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + α*(a₁, b₁, c₁) + β*(a₂, b₂, c₂).

Здесь (a₂, b₂, c₂) и (a₁, b₁, c₁) - параметры двух векторов координаты, которые принадлежат рассматриваемой плоскости. Точка (x₀, y₀, z₀) также лежит в этой плоскости. Параметры α и β могут принимать независимые друг от друга и произвольные значения.

Наконец, уравнение плоскости в отрезках представляют в следующем математическом виде:

x/p + y/q + z/l = 1.

Здесь p, q, l - конкретные числа (в том числе отрицательные). Этот вид уравнения удобен, когда необходимо изобразить в прямоугольной системе координат плоскость, поскольку числа p, q, l показывают точки пересечения с осями x, y и z плоскости.

Заметим, что каждый вид уравнения может быть преобразован в любой другой с помощью несложных математических операций.

Формула угла между двумя плоскостями

Теперь рассмотрим следующий нюанс. В трехмерном пространстве две плоскости могут располагаться всего двумя способами. Либо пересекаться, либо быть параллельными. Между двумя плоскостями углом называется то, что расположено между их векторами направляющими (нормальными). Пересекаясь, 2 вектора образуют 2 угла (острый и тупой в общем случае). В качестве угла между плоскостями принято считать острый. Рассмотрим уравнение.

Формула угла между двумя плоскостями имеет вид:

θ = arccos(|(n₁¯*n₂¯)|/(|n₁¯|*|n₂¯|)).

Несложно догадаться, что это выражение является прямым следствием из скалярного произведения нормальных векторов n₁¯ и n₂¯ для рассматриваемых плоскостей. Модуль скалярного произведения в числителе указывает на то, что угол θ будет принимать только значения от 0^o до 90^o. Произведение модулей нормальных векторов в знаменателе означает произведение их длин.

Отметим, если (n₁¯*n₂¯) = 0, то плоскости пересекаются под прямым углом.

Пример задачи

Разобравшись, что называется углом между двумя плоскостями, решим следующую задачу. В качестве примера. Итак, необходимо вычислить угол между такими плоскостями:

2*x - 3*y + 4 = 0;

(x, y, z) = (2, 0, -1) + α*(1, 1, -1) + β*(0, 2, 3).

Для решения задачи необходимо знать направляющие вектора плоскостей. Для первой плоскости нормальный вектор равен: n₁¯ = (2, -3, 0). Чтобы найти второй плоскости нормальный вектор, следует умножить вектора, стоящие после параметров α и β. В результате получим вектор: n₂¯ = (5, -3, 2).

Для определения угла θ воспользуемся формулой из предыдущего пункта. Получаем:

θ = arccos (|((2, -3, 0)*(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)|*|(5, -3, 2)|)) =

= arccos (19/√(13*38)) = 0,5455 рад.

Рассчитанный угол в радианах соответствует 31,26^o. Таким образом, плоскости из условия задачи пересекаются под углом 31,26^o.