Описание алгеброй гармонии. Объем шара
Окружающий нас мир, несмотря на многообразие предметов и происходящих с ними явлений, преисполнен гармонии благодаря чёткому действию законов природы. За кажущейся свободой, с которой природа рисует очертания и создаёт формы вещей, скрываются чёткие правила и законы, невольно наталкивающие на мысль о присутствии в процессе созидания какой-то высшей силы. На грани прагматической науки, дающей описание происходящим явлениям с позиции математических формул и теософских мировоззрений, существует мир, дарящий нам весь букет эмоций и впечатлений от наполняющих его вещей и происходящих с ними событий.
Шар как геометрическая фигура является наиболее часто встречающейся в природе формой для физических тел. Большинство тел макромира и микромира имеют форму шара или же стремятся приблизиться к таковой. По сути, шар является примером идеальной формы. Общепринятым определением для шара принято считать следующее: это геометрическое тело, совокупность (множество) всех точек пространства, которые находятся от центра на расстоянии, не превышающем заданного. В геометрии это расстояние получило название радиуса, а применительно к данной фигуре оно называется радиусом шара. Другими словами, в объём шара заключены все точки, находящиеся на расстоянии от центра, не превышающем длину радиуса.
Шар еще рассматривают как результат вращения полукруга вокруг его диаметра, который при этом остаётся неподвижным. При этом к таким элементам и характеристикам, как радиус и объём шара, добавляется ось шара (неподвижный диаметр), а его концы называются полюсами шара. Поверхность шара принято называть сферой. Если имеем дело с замкнутым шаром, то он включает эту сферу, если с открытым, то он её исключает.
Рассматривая дополнительно связанные с шаром определения, следует сказать о секущих плоскостях. Проходящую сквозь центр шара секущую плоскость принято называть большим кругом. Для других плоских сечений шара принято применять название «малые круги». При вычислении площадей этих сечений используется формула πR².
Вычисляя объём шара, математики столкнулись с довольно увлекательными закономерностями и особенностями. Оказалась, что эта величина либо полностью повторяет, либо очень близка по способу определения к объёму пирамиды или описанного вокруг шара цилиндра. Получается, что объем шара равен объему пирамиды, если её основание имеет такую же площадь, как поверхность шара, а высота равна радиусу шара. Если же рассмотреть описанный вокруг шара цилиндр, то можно вычислить закономерность, согласно которой объем шара меньше объёма этого цилиндра в полтора раза.
Привлекательно и оригинально выглядит способ вывода формулы объёма шара при помощи принципа Кавальери. Он заключается в нахождении объёма любой фигуры путём сложения площадей, полученных её сечением бесконечным количеством параллельных плоскостей. Для вывода возьмём полушар радиусом R и цилиндр, имеющий высоту R с основанием-кругом радиусом R (основания полушара и цилиндра расположены в одной плоскости). В данный цилиндр вписываем конус с вершиной в центре нижнего его основания. Доказав, что объём полушара и части цилиндра, оказавшиеся за пределами конуса, равны, легко высчитаем объем шара. Формула его приобретает следующий вид: четыре третьих произведения куба радиуса на π (V= 4/3R^3×π). Это легко доказать, проведя общую секущую плоскость через полушар и цилиндр. Площади малого круга и кольца, ограниченного снаружи сторонами цилиндра и конуса, равны. А, используя принцип Кавальери, нетрудно прийти к доказательству основной формулы, с помощью которой мы и определяем объем шара.
Но не только с проблемой изучения природных тел связано нахождение способов определения различных их характеристик и свойств. Такая фигура стереометрии, как шар очень широко используется в практической деятельности человека. Масса технических устройств имеет в своих конструкциях детали не только шарообразной формы, но и составленные из элементов шара. Именно копирование идеальных природных решений в процессе человеческой деятельности даёт наиболее качественные результаты.