Как сравнивать числа с корнем: объяснение
Сравнение чисел, содержащих корень, является важным умением при решении многих математических задач. Чтобы правильно сравнить такие числа, необходимо знать несколько основных правил и приемов.
Преобразование под знак корня
Одним из основных способов сравнения является преобразование выражений под знак корня. Рассмотрим пример:
Нужно сравнить числа √12 и 2√3. Преобразуем:
- √12 = √(4·3) = √4 · √3 = 2√3
Таким образом, числа равны. Этот прием позволяет привести сравниваемые значения к одному виду.
Возведение в квадрат
Другой распространенный способ – возведение подкоренных выражений в квадрат. Например:
Сравним √5 и 2. Возводим подкоренные выражения в квадрат:
- √5 = √25 = 5
- 22 = 4
Поскольку 5 > 4, то и √5 > 2. Этот метод применим только для положительных чисел, так как для отрицательных возведение в квадрат меняет знак.
Формулы сопряженных выражений
Еще один удобный прием основан на использовании формул сопряженных выражений. Например, чтобы сравнить √8 + √15 и √5 + √12, применяем формулу:
(a + b)(a - b) = a2 - b2
Тогда:
- (√8 + √15)(√8 - √15) = 8 - 15 = -7
- (√5 + √12)(√5 - √12) = 5 - 12 = -7
Полученные значения равны, значит и сами выражения равны.
Как сравнить числа под корнем
Часто нужно сравнить не только значения до корня, но и подкоренные выражения. Для этого можно использовать следующие приемы:
- Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) подкоренных выражений.
- Приведение подкоренных выражений к одному знаменателю (для дробей).
- Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).
Например, чтобы сравнить √48 и √32, находим НОД(48;32) = 16. Тогда:
- √48 = √(16·3) = √16·√3
- √32 = √(16·2) = √16·√2
Так как √3 > √2, то и √48 > √32.
Данные приемы позволяют значительно упростить сравнение чисел с корнем в математических задачах и вычислениях.
Другие способы сравнения чисел с корнем
Помимо основных методов, описанных выше, существуют и другие эффективные способы сравнения чисел с корнем.
Использование таблиц квадратов чисел
Часто полезно воспользоваться готовыми таблицами квадратов натуральных чисел. Это позволяет быстро находить квадратный корень и сравнивать подкоренные выражения.
Например, чтобы сравнивать числа √42 и √30, по таблице находим, что 42 = 62, а 30 = 52. Значит, √42 = 6 > 5 = √30.
Приближенное сравнение с допустимой погрешностью
Иногда нет необходимости в точном значении корня. Можно использовать приближенное сравнение с заданной погрешностью.
Например, чтобы сравнивать √3.01 и √3 с точностью до сотых, достаточно записать:
- √3.01 ≈ 1.73
- √3 ≈ 1.73
Числа равны с данной точностью.
Сравнение с помощью числовой прямой
Сравнивать числа корнем также можно с использованием числовой прямой, отмечая на ней соответствующие значения точками и визуально определяя их взаимное расположение.
Недостатком этого метода является менее высокая точность, зато он нагляден и прост.
Корни в неравенствах и уравнениях
Рассмотренные выше способы актуальны не только для обычных чисел, но и при работе с неравенствами, уравнениями, содержащими корень.
Например, чтобы решить неравенство √(x + 5) > 3, применяем возведение в квадрат:
√(x + 5) > 3
x + 5 > 9 x > 4
А в уравнении √(x - 2) = 5, используем преобразование под знак корня:
√(x - 2) = 5 x - 2 = 25 x = 27