Гомотетия - это важное понятие в геометрии
Гомотетия является важным понятием в геометрии, позволяющим описывать подобные фигуры и преобразования между ними. Рассмотрим подробнее, что такое гомотетия, ее свойства и применение.
Определение гомотетии
Гомотетия это преобразование плоскости, при котором каждой точке А ставится в соответствие точка А1, лежащая на прямой ОА, причем ОА1 = k·ОА, где k - положительное число, называемое коэффициентом гомотетии, а точка О - центром гомотетии.
Свойства гомотетии
При гомотетии сохраняются следующие свойства:
- Углы между прямыми
- Отношение расстояний между точками
- Параллельность прямых
- Подобие фигур
Это означает, что если преобразовать некоторую фигуру гомотетией, то получится подобная ей фигура с теми же углами, в которой соответствующие отрезки будут относиться как k.
Применение гомотетии
Гомотетия это важный инструмент, используемый в различных областях геометрии и ее приложениях:
-
Построение подобных фигур. С помощью гомотетии можно получать фигуры, подобные заданной.
-
Масштабирование чертежей и изображений. Гомотетия позволяет строить уменьшенные или увеличенные копии объектов.
-
Доказательство геометрических утверждений о подобии фигур. Многие задачи на подобие сводятся к доказательству, что одна фигура получена из другой с помощью гомотетии.
Рассмотрим некоторые конкретные примеры использования гомотетии.
Построение подобной фигуры
Допустим, дан треугольник ABC и требуется построить треугольник A1B1C1, подобный ему с коэффициентом 3. Для этого:
- Выбираем произвольную точку О в качестве центра гомотетии
- Строим точки A1, B1 и C1 так, чтобы OA1 = 3·OA, OB1 = 3·OB и OC1 = 3·OC
- Соединяем точки A1, B1 и C1
В результате получится искомый треугольник A1B1C1, подобный triangle ABC с коэффициентом подобия 3.
Масштабирование плана помещения
Пусть имеется план комнаты в масштабе 1:100. Требуется построить уменьшенный план той же комнаты в масштабе 1:200. Для этого достаточно выполнить гомотетию исходного плана с коэффициентом 0,5 (ведь отношение масштабов равно 100/200 = 0,5). Центром гомотетии можно взять любую точку, например, один из углов комнаты.
Задачи на гомотетию
Рассмотрим несколько типовых задач, связанных с гомотетией и подобием фигур:
Задача 1
Доказать, что если треугольник ABC гомотетичен треугольнику A1B1C1, то медианы этих треугольников тоже гомотетичны.
Решение:
Пусть O - центр гомотетии, k - коэффициент. Тогда для любой точки M треугольника ABC найдется точка M1 в треугольнике A1B1C1, для которой выполнено OM1 = k·OM.
В частности, это верно и для середин отрезков AA1, BB1 и CC1, которые как раз и являются точками пересечения медиан. Значит, медианы треугольников ABC и A1B1C1 тоже гомотетичны с тем же центром O и коэффициентом k.
Ответ: утверждение доказано.
Задача 2
В треугольнике ABC проведена медиана AK. Доказать, что треугольник AKC подобен треугольнику ABK.
Решение:
Заметим, что точка K является одновременно серединой стороны BC и точкой пересечения медиан треугольника ACK. Значит, ACK гомотетичен ABC (центр O лежит в точке K).
Но тогда треугольник ABK гомотетичен треугольнику AKC как части гомотетичных фигур. Следовательно, ABK и AKC подобны по свойству гомотетии.
Ответ: утверждение доказано.
Преобразования подобия с использованием гомотетии
Помимо построения отдельных подобных фигур, гомотетия позволяет осуществлять разнообразные преобразования, сохраняющие подобие.
Параллельный перенос
Если в качестве центра O гомотетии выбрать точку в бесконечности, то получится параллельный перенос с коэффициентом k. При этом исходная фигура переместится в направлении, перпендикулярном направлению на точку O, на расстояние, пропорциональное коэффициенту гомотетии.
Симметрия
Если в качестве центра O гомотетии выбрать точку на оси симметрии, а коэффициент гомотетии взять равным -1, то получится симметричное отображение относительно данной оси.
Поворот
Гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом 1 эквивалентна повороту вокруг этой точки. Таким образом, с помощью гомотетии можно описывать вращение фигур, сохраняющее их подобие.
Гомотетия и подобие в стереометрии
Аналогичные понятия гомотетии и подобия определяются не только для плоских фигур, но и для фигур в пространстве. Рассмотрим кратко их основные особенности.
Определение
Гомотетия в пространстве задается выбором центра O, оси, вдоль которой происходит растяжение фигуры и коэффициента гомотетии k. При этом каждая точка A переходит в точку A1, для которой OA1 = k·OA и AA1 параллельна заданной оси.
Свойства
Как и для плоских фигур, гомотетия в пространстве сохраняет отношение расстояний, углы между прямыми и плоскостями, параллельность прямых и плоскостей. Получающиеся при гомотетии фигуры называются подобными.
Задачи на подобие
Многие задачи стереометрии сводятся к доказательству того, что некоторая фигура получается из другой с помощью гомотетии, следовательно, эти фигуры подобны и их элементы связаны определенными пропорциональными соотношениями.