Алгоритм обратного распространения ошибки: пример, описание
Нейронные сети активно используются во многих сферах, от распознавания изображений до прогнозирования. Однако их эффективное обучение было невозможно без открытия алгоритма обратного распространения ошибки . Этот революционный подход позволил оптимизировать веса нейронных сетей. Давайте разберемся, как работает этот удивительный алгоритм на конкретном примере.
История создания алгоритма обратного распространения ошибки
Впервые метод обратного распространения ошибки был описан в 1974 году Полом Дж. Вербосом в его статье "Обучение машин по методу обратного распространения ошибки". Однако основные идеи этого подхода были существенно развиты лишь в 1986 году в работе Дэвида И. Румельхарта, Джеффри Е. Хинтона и Рональда Дж. Вильямса под названием "Обучение представлениям путем обратного распространения ошибок". Параллельно аналогичный метод был предложен в СССР математиками С.И. Барцевым и В.А. Охониным из Красноярска.
Благодаря этим ученым появилась возможность эффективно рассчитывать градиент функции ошибки глубоких нейронных сетей и таким образом оптимизировать их веса с помощью градиентных методов. Это открытие стало одним из ключевых факторов, позволивших нейронным сетям достичь выдающихся результатов в последние годы.
Почему нужен был новый алгоритм оптимизации
До появления метода обратного распространения ошибки для обучения нейронных сетей чаще всего использовался обычный градиентный спуск. Однако у этого подхода был существенный недостаток:
- Высокая вычислительная сложность расчета градиента для глубоких сетей
Для сетей более чем с одним скрытым слоем градиент функции ошибки является очень сложной композицией элементарных функций. Аналитически вычислить его очень трудоемко, а численные методы слишком неэффективны.
В то же время обратное распространение ошибки позволяет:
- Вычислять градиенты эффективно за один проход по сети
- Легко масштабировать на большое число слоев
- Применять для сетей практически любой архитектуры
Это и послужило толчком для широкого распространения алгоритма backpropagation как основного метода оптимизации в глубинном обучении.
Математическая суть алгоритма
Рассмотрим более подробно математическую суть метода обратного распространения ошибки. В основе лежит следующая формула из математического анализа для вычисления градиента сложной функции:
Если $f(x) = g_m(g_{m-1}(\ldots (g_1(x)) \ldots))$, то $\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial g_m}{\partial g_{m-1}}\dfrac{\partial g_{m-1}}{\partial g_{m-2}}\ldots \dfrac{\partial g_2}{\partial g_1}\dfrac{\partial g_1}{\partial x}$
Градиент вычисляется последовательно, в ходе одного обратного прохода от $g_m$ к $g_1$. Этот принцип и лежит в основе распространения ошибки назад по слоям нейронной сети.
Пример для логистической регрессии
Давайте посмотрим, как выглядит процесс backpropagation на простейшем примере логистической регрессии:
- Сначала выполняется прямой проход (forward pass) и запоминаются все промежуточные значения
- Вычисляется функция ошибки в конце
- Ошибка распространяется на предыдущий слой с учетом производной функции активации
- Аналогично для всех остальных слоев
В итоге за один обратный проход мы получаем градиенты по всем параметрам сети. Это намного эффективнее вычисления производных каждого слоя по отдельности.
Формализованное описание алгоритма
Формально алгоритм обратного распространения ошибки можно описать следующим образом:
- Выполнить прямой проход по сети (forward pass), вычислив все промежуточные представления $X^1, \ldots, X^m$
- В конце посчитать значение функции ошибки $\mathcal{L}(X^m, y)$
- Рекурсивно вычислить градиенты от $\mathcal{L}$ по всем $X^k$ путем обратного распространения
- Использовать полученные градиенты для обновления весов с помощью градиентного спуска
Здесь ключевым моментом является именно эффективный расчет градиентов на шаге 3 благодаря цепочечному правилу дифференцирования сложной функции.
Применение в сверточных сетях
Сигмоидальные функции активации широко использовались в первых нейронных сетях. Однако в современных сверточных сетях для компьютерного зрения чаще применяется функция ReLU. Тем не менее алгоритм обратного распространения ошибки остается критически важным инструментом их оптимизации.
Основное отличие при использовании в сверточных сетях - это наличие разделяемых весов в сверточных фильтрах. Например, один и тот же фильтр применяется ко всем позициям входного изображения. Это вносит некоторые особенности в расчет градиентов, но общая схема алгоритма backpropagation остается прежней.
Реализация в библиотеке PyTorch
Благодаря мощным средствам автоматического дифференцирования (autograd), реализация алгоритма обратного распространения ошибки в популярных фреймворках машинного обучения очень проста.
Например, в PyTorch достаточно определить модель как цепочку слоев, вызвать метод .backward() на выходе и оптимизатор сам затем обновит все веса:
model = nn.Sequential(CNNLayer1(), CNNLayer2(), LinearLayer()) output = model(input) loss = LossFunction(output, target) loss.backward() optimizer.step() Оптимизация производительности
Несмотря на кажущуюся простоту, есть несколько важных нюансов для оптимизации производительности алгоритма обратного распространения ошибки :
- Размер мини-батча
- Накопление градиентов
- Нормализация градиентов
Правильная настройка этих гиперпараметров может существенно ускорить обучение нейронной сети.
Архитектура сверточной нейронной сети
Чтобы продемонстрировать обучение с помощью алгоритма обратного распространения ошибки , возьмем задачу классификации изображений. Для нее построим следующую архитектуру сверточной нейронной сети:
- Слой свертки 3x3, 16 фильтров
- Слой максимального подвыборочного соединения 2x2
- Слой свертки 3x3, 32 фильтра
- Слой максимального подвыборочного соединения 2x2
- Полносвязный слой 256 нейронов
- Выходной полносвязный слой с softmax
Данная архитектура хорошо зарекомендовала себя на практике для распознавания изображений размером 32x32 пикселей.
Настройка гиперпараметров обучения
Перед запуском процесса обучения необходимо определить следующие ключевые гиперпараметры алгоритма backpropagation :
- Функция потерь - категориальная кросс-энтропия
- Оптимизатор - Adam с начальным шагом 0.001
- Размер мини-батча - 32 изображения
- Количество эпох - 30
Данная конфигурация является хорошей стартовой точкой. При необходимости гиперпараметры можно будет дополнительно подстроить.
Анализ кривых обучения
После запуска процесса обучения стоит внимательно следить за кривыми ошибки на обучающей и тестовой выборках. Если модель начинает переобучаться, это проявится в расхождении этих кривых.
В данном случае мы видим плавное монотонное снижение ошибки без явных признаков overfitting. Это говорит об эффективности обучения с помощью алгоритма обратного распространения ошибки .
Сравнение с другими алгоритмами
Полезно также сравнить качество обученной с помощью backpropagation нейронной сети с другими моделями машинного обучения. Например, можно обучить случайный лес или SVM на тех же данных.
На практике сверточные нейронные сети обычно демонстрируют существенно более высокую точность в задачах компьютерного зрения. Это еще раз подчеркивает эффективность глубинного обучения с использованием алгоритма обратного распространения ошибки для оптимизации.
Улучшение качества распознавания
Даже при отсутствии явных признаков переобучения, всегда есть возможность еще больше повысить качество распознавания обученной с помощью алгоритма backpropagation нейронной сети. Рассмотрим несколько вариантов:
Увеличение размера данных
Большие объемы размеченных данных позволяют сети лучше обобщать и распознавать тестовые примеры. Можно дополнительно сгенерировать изображения с щумом, искажениями и другими аугментациями.
Регуляризация
Методы регуляризации вроде дропаута или L2 regularization подавляют переобучение. Их применение также может повысить метрики качества.
Подбор архитектуры
Эксперименты с большим числом сверточных слоев, фильтров или вариацией их размера могут привести к построению более эффективной архитектуры модели.
Оптимизация гиперпараметров
Настройку ключевых гиперпараметров алгоритма обратного распространения ошибки - таких как скорость обучения, размер батча, момент - можно провести более тщательно с помощью грид или случайного поиска.
Важность интерпретации результатов
При анализе обученной с помощью backpropagation нейронной сети важно не только смотреть на финальные метрики. Полезно также визуализировать работу алгоритма - например, вывести промежуточные представления или веса фильтров.