Как вносить число под корень: разбираемся шаг за шагом на примерах

Допустим, вам встретилось математическое выражение, содержащее знак корня. И перед этим корнем стоит некое число или выражение. Как в таком случае быстро и правильно преобразовать это выражение, "внеся" указанный множитель под знак корня? Разберемся!

Теоретические основы внесения числа под корень

Итак, давайте сначала дадим определение того, что мы будем называть внесением числа под корень.

Внесением числа под корень называют преобразование математического выражения вида B · Cn, где B и C - некоторые числа или выражения, а n - натуральное число, большее 1, путем замены этого выражения на равное ему Bn · Cn или -Bn · Cn.

В школьном курсе математики это преобразование впервые вводится после изучения квадратных корней в 8 классе. При этом берется определение для случая n=2, то есть для квадратных корней. В старших классах для степеней корней больше 2 дается обобщенное определение.

Из этого определения понятно, почему данное преобразование так называется: в его результате множитель B как бы "вносится" под знак корня, оказываясь возведенным в степень n.

Также ясно, что внесение числа под корень выполняется далеко не со всеми выражениями, а лишь с выражениями определенного вида. А именно - представляющими собой произведение:

• некоторого числа или выражения (это и есть множитель B)
• корня n-ой степени от некоторого числа или выражения (это и есть C)

В результате преобразования мы должны получить выражение также вполне конкретного вида:

• либо Bn · Cn
• либо -Bn · Cn

Дальше можно это выражение еще как-то упростить, если есть такая возможность и необходимость.

А теперь давайте разберемся, какое теоретическое обоснование лежит в основе данного преобразования, позволяющее заменить B · Cn на Bn · Cn или на -Bn · Cn в зависимости от ситуации.

Правила внесения числа под корень

Итак, как же правильно вносить множитель под знак корня? Здесь все зависит от двух факторов:

1. Четность показателя корня n - четное или нечетное число.
2. Знак самого множителя B - положительное, отрицательное число или выражение.

Для разных комбинаций этих факторов действуют разные правила внесения множителя под корень. Давайте их сформулируем.

Правило для нечетного показателя корня

Если показатель корня n является нечетным числом, то внесение множителя B под корень происходит по правилу:

B · Cn = Bn · Cn

Правило для четного показателя корня и положительного B

Если показатель корня n - четное число, а множитель B:

• либо положительное число
• либо выражение, принимающее при любых значениях переменных только положительные значения

то внесение B под корень записывается так:

B · Cn = Bn · Cn

Где Bⁿ - это множитель B, возведенный в степень n.

Правило для четного показателя корня и отрицательного B

Если при четном показателе корня n множитель B является:

• либо отрицательным числом
• либо выражением, которое при любых значениях переменной(ых) не принимает положительных значений

то правило внесения множителя под корень имеет вид:

B · Cn = -Bn · Cn

Здесь перед результирующим выражением стоит знак минус.

В следующем разделе мы проиллюстрируем эти правила конкретными примерами.

Примеры внесения числа под корень

как вносить число под корень - давайте теперь на практике разберем, как применяются сформулированные выше правила внесения числа под знак корня.

Примеры для нечетного показателя корня

Рассмотрим сначала простой случай, когда показатель корня является нечетным числом. Тогда в силу вступает первое правило, согласно которому выполняется замена:

B · Cn = Bn · Cn

Например, пусть дано выражение:
5 · 35

Здесь n=5 - нечетное число. Применим правило:

B · Cn = Bn · Cn

Подставляем конкретные значения:

5 · (35) = 55 · 35

Получаем ответ: 55 · 35 = 15625 · 243

Аналогично можно внести множитель под знак корня 7-й, 9-й, 11-й степени и т.д. Главное, чтобы показатель корня был нечетным числом.

Теперь рассмотрим пример посложнее, когда в качестве множителя B выступает не просто число, а выражение:

(3x + 2y) · 73

Здесь опять показатель корня n=3 является нечетным. Применим то же правило:

B · Cn = Bn · Cn

Или после подстановки:

(3x + 2y) · (73) = (3x + 2y)3 · 73

Примеры для четного показателя корня и положительного числа

Теперь перейдем к чуть более сложным примерам, когда показатель корня n является четным числом, а множитель B - положительным числом.

Например:

5 · 34

Здесь n=4 - четное число. Поскольку множитель B=5 является положительным числом, применимо второе правило:

B · Cn = Bn · Cn

Подставим конкретные значения:

5 · (34) = 54 · 34

Получаем ответ: 54 · 34 = 625 · 81

То есть множитель 5 возводится в 4-ю степень, а затем умножается на 3⁴.

Примеры для четного показателя корня и отрицательного числа

Ну и наконец рассмотрим случай, когда показатель корня четный, а вносимый множитель отрицателен. Здесь в ход идет третье правило:

B · Cn = -Bn · Cn

К примеру:

-5 · 42

Показатель корня n=2 - четное число, множитель B=-5 является отрицательным. Тогда преобразуем выражение так:

-5 · (42) = (-5)2 · 42

И далее:

= 25 · 16

Здесь обратите внимание, что получившееся выражение имеет знак "минус", который "прилип" к множителю (-5)², возведенному в квадрат.

Аналогичным образом этот механизм работает и при бОльших четных показателях корня: 6, 8, 10 и т.д.

На этом основная часть статьи подходит к концу. Мы разобрали теорию, правила и примеры как вносить число под корень. В следующих разделах речь пойдет о практическом применении этого преобразования.