Погрешность косвенных измерений: формула вычисления
Точность результатов научных экспериментов напрямую зависит от величины погрешностей измерений. При использовании косвенных методов измерения особенно важно грамотно оценивать погрешности, чтобы получить надежные и достоверные данные.
Теоретические основы
Погрешность - это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Различают абсолютную и относительную погрешности. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины, а относительная - в процентах или долях от измеренного значения.
Существуют разные виды погрешностей:
- Инструментальные - связаны с неидеальностью измерительных приборов
- Методические - обусловлены несовершенством методики измерений
- Случайные - возникают под действием случайных факторов
- Систематические - постоянно присутствуют при измерениях
На величину погрешностей влияют такие факторы, как класс точности прибора, опыт экспериментатора, условия эксперимента и др. Учет погрешностей при обработке результатов измерений крайне важен для получения объективных и достоверных научных данных.
Погрешность косвенных измерений: формула
Косвенными называются такие измерения, при которых значение интересующей нас величины определяется на основе измеренных значений других величин посредством математических преобразований. Например, сопротивление проводника рассчитывается по закону Ома из измеренных значений силы тока и напряжения.
Для оценки погрешности результата косвенных измерений используются различные математические методы, в частности метод границ и метод дифференцирования.
Метод границ
Погрешность косвенных измерений: формула. Суть этого метода заключается в нахождении максимально возможного отклонения результата от истинного значения с учетом погрешностей прямых измерений. Метод позволяет получить верхнюю границу погрешности.
Порядок вычисления погрешности методом границ:
- Записать формулу для вычисления интересующей величины через прямо измеренные значения
- Вычислить значение интересующей величины, подставив средние значения аргументов
- Заменить каждую величину на сумму ее среднего значения и абсолютной погрешности со знаком "+" или "-" в зависимости от влияния на результат
- Подставить полученные предельные значения аргументов в формулу и вычислить соответствующие предельные значения результата
- Найти разность между наибольшим и наименьшим значениями результата. Это и есть абсолютная погрешность результата
Метод дифференцирования
Данный метод основан на дифференцировании функции, выражающей зависимость интересующей величины от измеряемых величин. Суть метода - найти производные этой функции по каждому аргументу, умножить их на соответствующие погрешности этих аргументов и просуммировать полученные произведения.
Алгоритм вычисления погрешности методом дифференцирования:
- Записать уравнение, связывающее интересующую величину с измеряемыми
- Взять дифференциал этого уравнения
- Приравнять каждый дифференциал к соответствующей абсолютной погрешности
- Сложить правые части уравнений
- Найти корень квадратный из полученной суммы квадратов. Это и есть искомая абсолютная погрешность
Рассмотрим пример расчета погрешности косвенных измерений для расчета объема цилиндра. Пусть диаметр цилиндра измерен, как (5,1±0,1) см, а высота - (7,5±0,2) см. Требуется найти погрешность вычисления объема цилиндра по формуле:
V = π R2h,
где R - радиус цилиндра.
Применим метод дифференцирования. Возьмем дифференциал уравнения:
dV = 2πR dR h + π R2 dh
Приравняем дифференциалы к соответствующим погрешностям:
2πR dR = 0,2(погрешность радиуса)π R2 dh = 0,4(погрешность высоты)
Сложим правые части квадратами и извлечем корень:
ΔV = √(0,2)2 + (0,4)2 = 0,45 см3
Получили, что абсолютная погрешность расчета объема цилиндра равна 0,45 см3. А относительная погрешность составляет 0,45/113 = 0,4% (при объеме по средним значениям 113 см3).
Источники возникновения погрешностей
Максимальная погрешность косвенных измерений. Погрешности косвенных измерений могут возникать из разных источников:
- Погрешности измерительных приборов. Они зависят от класса точности приборов и условий их эксплуатации.
- Погрешности методики измерений. Связаны с неидеальностью условий эксперимента, неточным соблюдением требований к его проведению.
- Субъективные погрешности. Возникают из-за недостаточной квалификации и опыта экспериментатора, усталости, невнимательности.
Чтобы минимизировать влияние этих факторов, необходимо тщательно выбирать методику и средства измерений, следить за соблюдением условий эксперимента, повышать квалификацию персонала.
Определение погрешности косвенных измерений
Определение погрешности косвенных измерений - это нахождение величины отклонения результата косвенных измерений от истинного значения с помощью математических методов расчета.
Выбор метода расчета
При выборе метода расчета погрешностей косвенных измерений необходимо учитывать следующие критерии:
- Вид функциональной зависимости между измеряемыми и искомой величинами
- Характер и величины погрешностей прямых измерений
- Требования к точности конечного результата
Метод границ удобен при простых зависимостях типа суммы или разности. Метод дифференцирования применим для более сложных функций.
Анализ и интерпретация результатов
После расчета погрешности косвенных измерений необходим их анализ для правильной интерпретации результатов.
Важные правила:
- Значения погрешностей округляются до первых значащих цифр
- Результат представляется в виде усредненного значения плюс-минус погрешность
- Оценивается допустимость полученной погрешности для конкретной измерительной задачи