Разнообразные способы задания множеств: общий обзор
Множества являются одним из фундаментальных понятий математики. Они позволяют формализовать группы объектов для дальнейшего изучения их свойств. Для корректной работы с множествами крайне важно правильно их задать. Рассмотрим основные способы задания множеств.
Простое перечисление элементов
Самый простой способ задания множества - это перечисление всех его элементов. Например, множество A можно задать так:
A = {1, 3, 5, 7, 9}
Этот способ хорошо подходит для задания конечных множеств, состоящих из небольшого количества элементов.
Преимущества:
- Простота задания
- Наглядность
Однако у такого задания есть существенный недостаток - оно непригодно для бесконечных или очень больших по объему множеств. Например, невозможно явно перечислить все натуральные числа или множество точек на плоскости.
Задание характеристическим свойством
Более универсальный способ - это задание множества через характеристическое свойство его элементов. Форма записи:
A = {x | P(x)}
где P(x) - некоторое высказывание. Например:
B = {x | x - натуральное число, меньшее 10}
Преимущества такого способа:
- Позволяет задавать любые множества, в том числе бесконечные
- Компактная форма записи
Основной минус в том, что порой бывает сложно сформулировать нужное свойство. Для этого требуются более глубокие знания предметной области.
Рекурсивное задание множества
Еще один мощный инструмент - рекурсивное задание множества. Суть в том, что элементы множества строятся по определенному алгоритму (правилу).
Например, рассмотрим способы задания множеств чисел Фибоначчи:
F1 = 1
F2 = 1 Fn = Fn-1 + Fn-2 при n > 2
Здесь задано начальное условие для первых двух элементов, а все последующие вычисляются по формуле сложения двух предыдущих.
Таким образом получается бесконечная последовательность:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...
Этот способ задания основан на свойствах самого множества и потому является внутренне присущим ему.
Достоинства и недостатки рекурсивного задания
Рекурсивный способ обладает следующими преимуществами:
- Позволяет компактно задавать бесконечные множества
- Отражает внутреннюю структуру множества
- Удобно использовать в программировании
К недостаткам можно отнести то, что не для любого множества удается найти подходящее рекурсивное правило.
Способы задания множеств: задание через другие множества
Еще один распространенный прием - это задание нового множества через уже известные, с помощью операций объединения, пересечения и дополнения:
- Объединение: C = A ∪ B
- Пересечение: D = A ∩ B
- Дополнение: E = A \ B
Примеры:
Пусть заданы множества натуральных (N) и целых (Z) чисел. Тогда множество отрицательных целых чисел можно задать как:
M = Z \ N
Типичные ошибки при задании множеств
К сожалению, на практике часто встречаются неправильно заданные множества. Это может привести к ошибкам и парадоксам в дальнейшем.
Рассмотрим типичные проблемы более подробно.
Проверка корректности задания множества
Чтобы убедиться в правильности задания, нужно для произвольного элемента x определить, принадлежит ли x данному множеству или нет.
Если это всегда однозначно определяется по имеющемуся описанию множества - значит, задание верное.
Некорректное описание элементов множества
Одна из распространенных ошибок - это слишком расплывчатое или неоднозначное описание элементов в определении множества. Например:
A = {x | x - хорошее число}
Здесь непонятно, какие числа считать "хорошими". Это субъективный и неформальный критерий. Такое множество задано некорректно.
Использование понятий, не имеющих строгого определения
Связанная проблема - применение недостаточно формализованных понятий. Например:
B = {x | x - известное простое число}
Здесь не определено, что считать "известным". Это может пониматься по-разному. Такое описание является некорректным.
Зависимость от внешних факторов или мнений
В некоторых случаях определение множества опирается на субъективные факторы:
C = {x | x нравится Иванову}
Очевидно, что мнения Иванова могут со временем поменяться. Поэтому элементы множества C будут меняться. Это нарушает корректность задания.
Использование терминов без их определения
Если в описании множества встречаются специальные термины, они должны быть определены:
D = {x | x является многочленом}
Здесь необходимо пояснить, что понимается под многочленом - иначе множество задано некорректно.