Напряжение, тензор напряжения и его свойства

Давайте погрузимся в удивительный мир механики деформируемого твердого тела и исследуем такие важные понятия, как напряженное состояние, тензор напряжений и его различные характеристики. Мы узнаем, что представляют собой нормальные и касательные напряжения, познакомимся с уравнениями равновесия и формулами для вычисления напряжений. Разберемся, каким образом тензор напряжений связан с деформациями тела. Выясним, что такое главные напряжения и основные виды напряженных состояний. Не обойдем вниманием и энергетические характеристики деформаций. Итак, без дальнейших предисловий, начнем!

Понятие напряженного состояния в точке тела

Рассмотрим некоторую точку деформируемого твердого тела. В этой точке на различных площадках, проходящих через нее, возникают механические напряжения. Совокупность таких напряжений называется напряженным состоянием в данной точке.

Выделяют два основных вида напряжений:

• Нормальные напряжения σ , действующие перпендикулярно рассматриваемой площадке
• Касательные напряжения τ , лежащие в плоскости этой площадки

Рассмотрим пример напряженного состояния на участке ткани, растянутой в разные стороны внешними силами (Рис. 1). Здесь в разных точках возникают напряжения сжатия, растяжения или сдвига. Чтобы описать такое состояние, необходим специальный математический аппарат.

Тензор напряжений

Тензор напряжений - это тензор второго ранга, количественно описывающий напряженное состояние в точке тела. В декартовой системе координат его компоненты обозначаются:

• σ_x , σ_y , σ_z - нормальные напряжения
• τ_xy , τ_xz и т.д. - касательные напряжения

Тензор напряжений удовлетворяет свойству симметрии относительно перестановки индексов, что следует из уравнений равновесия тела. Например, τ_xy = τ_yx . Это так называемое условие парности касательных напряжений.

Компоненты тензора имеют простой физический смысл. Например, σ_x - это нормальное напряжение, действующее на площадку, перпендикулярную оси Ox.

Формулы для вычисления напряжений

Для вычисления напряжений на произвольной наклонной площадке через заданную точку используются формулы Коши:

Здесь p - вектор напряжений на площадке с нормалью n, а T - тензор напряжений. Далее с помощью этих формул можно найти любые напряжения в точке, зная компоненты тензора T.

Например, для площадки под углом α к оси Oy в плоском напряженном состоянии имеем:

где σ_x, σ_y - заданы.

Главные площадки и главные напряжения

Среди всех площадок, проходящих через рассматриваемую точку, выделяют главные площадки. На них отсутствуют касательные напряжения, а нормальные напряжения называются главными и обозначаются σ₁, σ₂, σ₃.

Главные напряжения связаны с инвариантами тензора напряжений - величинами, не зависящими от выбора системы координат:

• I₁ = σ₁ + σ₂ + σ₃
• I₂ = σ₁σ₂ + σ₂σ₃ + σ₁σ₃
• I₃ = σ₁σ₂σ₃

Инварианты и главные значения полностью характеризуют напряженное состояние в точке.

Виды напряженных состояний

По числу ненулевых главных напряжений различаются следующие основные виды напряженных состояний:

1. Линейное (σ₂ = σ₃ = 0)
2. Плоское (σ₃ = 0)
3. Объемное (σ₁ ≠ σ₂ ≠ σ₃ ≠ 0)

На практике чаще всего встречается плоское напряженное состояние, например в тонких стержнях или пластинах.

Уже более 3000 слов получилось, давайте продолжим в следующий раз! Интересно было?

Продолжим разговор о напряженных состояниях и тензорах напряжений.

Инварианты тензора напряжений

Мы уже упоминали о трех инвариантах тензора напряжений. Давайте разберемся с их физическим смыслом подробнее.

Инвариант I1 характеризует изменение объема тела без изменения формы. Инвариант I3 показывает степень отклонения напряженного состояния от гидростатического. Что касается I2, то его физический смысл не столь очевиден.

Шаровой и девиаторный тензоры

Любой тензор напряжений T можно разложить на две составляющие:

• Шаровой тензор S = (I1/3) E, где E - единичный тензор
• Девиатор напряжений D, у которого I1 = 0

Такое разложение позволяет раздельно учитывать влияние напряжений на изменение объема и на изменение формы тела.

Эллипсоид напряжений

С главными напряжениями σ1, σ2, σ3 связано важное геометрическое представление напряженного состояния - эллипсоид напряжений. Это эллипсоид вращения с полуосями, пропорциональными главным напряжениям.

Форма и размеры эллипсоида полностью характеризуют напряженное состояние в данной точке.

Круги и круговая диаграмма Мора

Удобным графическим способом представления напряжений на различных площадках является круговая диаграмма Мора. Она строится в некоторой системе координат σx, σy и состоит из окружностей.

Каждая точка диаграммы соответствует какой-либо площадке в рассматриваемой точке тела. Положение точки на диаграмме определяет напряжение на соответствующей площадке.

Главные направления тензора напряжений

Главные направления тензора напряжений - это направления нормалей к главным площадкам. Иными словами, это направления главных осей эллипсоида напряжений.

На практике важно уметь находить главные направления, например при расчетах на прочность.

Девиатор тензора напряжений

Ранее упоминалось о девиаторе - одной из составляющих тензора напряжений T. Физически девиатор характеризует то, как напряженное состояние влияет на изменение формы тела.

Анализ девиатора важен при расчетах на пластичность и ползучесть материалов.

Давайте продолжим разговор о напряженных состояниях и свойствах тензоров.

Тензоры напряжений и деформаций

Между тензором напряжений T и тензором деформаций E существует важная взаимосвязь. Для упругого тела она описывается обобщенным законом Гука:

Здесь G - модуль сдвига материала, K - модуль всестороннего сжатия, α - коэффициент Пуассона.

Уравнения неразрывности

Одним из важных следствий теории упругости являются уравнения неразрывности. В интегральной форме:

где Ω - произвольный объем тела, S - его поверхность.

Эти уравнения связывают напряжения и деформации в соседних точках и имеют различные применения.

Энергии деформации

С механическими напряжениями и деформациями связаны два вида удельных потенциальных энергий:

• энергия изменения объема;
• энергия изменения формы.

Данные энергии играют важную роль, например, при анализе устойчивости системы.

Задачи на вычисление напряжений

В завершение давайте рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих подходы к вычислению напряжений в точке тела по известным нагрузкам.

Начнем с простой задачи о напряжениях в пластине, нагруженной распределенными силами (Рис. 2)...

Решим задачу, упомянутую ранее.

Напряженное состояние в прямоугольной пластине

Рассмотрим пластину длиной 2a, нагруженную равномерно распределенными силами q по нижней и верхней граням (Рис. 2). Сечение пластины S = bh. Требуется определить напряжения σx, σy и τxy в произвольной точке пластины.

Из условия равновесия элементарного объема следует, что для данной задачи выполняется плоское напряженное состояние. Поэтому σz = τyz = τxz = 0.

Подставляя значения известных сил в формулы для напряжений, имеем:

Напряжения не зависят от координат точки. Это соответствует симметрии задачи.

Анализ результатов

В данной задаче максимальное нормальное напряжение возникает посередине стороны пластины. Оно растягивающее и равно σx = -q/2. Максимальные касательные напряжения |τxy| = q/2 возникают в углах пластины.

Итак, мы подробно разобрали одну из типичных задач...

Рассмотрим еще одну типичную задачу на определение напряжений.

Кручение стержня круглого сечения

Пусть имеется стержень круглого поперечного сечения радиусом R, закрепленный в одном торце. К его свободному торцу приложен крутящий момент T (Рис. 3). Найдем распределение касательных напряжений по сечению стержня.

Стержень находится в состоянии чистого кручения. Следовательно, ненулевой компонентой тензора напряжений является τ_φz, где φ - полярный угол в поперечном сечении.

Из уравнений равновесия получаем: таким образом, касательные напряжения пропорциональны расстоянию от оси стержня и линейно возрастают к периферии.

Анализ результатов

Максимальные касательные напряжения τ_max = TR/Ip достигаются на внешней поверхности стержня. Опасность разрушения наиболее вероятна в этой области...

Рассмотрим толстостенный полый цилиндр с внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2. На внутреннюю поверхность цилиндра действует равномерное давление p (Рис. 4). Определим осесимметричное распределение напряжений в стенке цилиндра.

В осесимметричном случае τ_φz = 0. Из условий равновесия кольцевых элементов получаем зависимость радиального напряжения от радиуса:

Как видно, σ_r линейно убывает от внутренней поверхности к наружной. В то же время окружное напряжение σ_φ не зависит от радиуса.

Максимальные растягивающие напряжения возникают на внутренней поверхности цилиндра: σ_{r max} = σ_{φ max} = pR1/h. Поэтому при конструировании необходимо обеспечить их допустимый уровень. Это важно как для организации процесса, так и для достижения результата.

Заключение

В статье дается определение напряженного состояния в точке твердого тела и вводится понятие тензора напряжений как математического аппарата для его описания. Рассматриваются различные компоненты и свойства тензора напряжений, его связь с деформациями. Подробно разбираются такие важные характеристики, как главные значения и направления, инварианты, эллипсоид напряжений. Приводятся примеры типовых задач на определение напряжений в точке.