Формула, по которой вычисляется коэффициент жесткости пружины
Пружины широко используются в различных механизмах и конструкциях. Знание формулы для расчета коэффициента жесткости позволяет правильно подобрать пружину для конкретных условий эксплуатации.
Основные понятия и определения
Пружиной называют упругий элемент конструкции, способный накапливать потенциальную энергию деформации и отдавать ее при снятии нагрузки. Основными характеристиками пружины являются:
- Материал
- Длина в свободном состоянии l0
- Внутренний диаметр d
- Внешний диаметр D
- Число витков n
Коэффициент жесткости k - это основная характеристика, определяющая свойства пружины. Физический смысл коэффициента жесткости заключается в следующем:
Коэффициент жесткости численно равен силе, которую надо приложить к пружине, чтобы ее длина изменилась на единицу расстояния.
То есть чем выше жесткость, тем сильнее пружина сопротивляется деформации. Коэффициент жесткости связан с силой и деформацией пружины законом Гука:
F = -kx
где F - сила, действующая на пружину, x - величина деформации (удлинения или сжатия), k - коэффициент жесткости.
В системе СИ коэффициент жесткости измеряется в Н/м. В системе СГС единица измерения - кгс/см.
По характеру деформации различают пружины растяжения, сжатия и кручения. Наиболее распространены цилиндрические винтовые пружины сжатия, у которых при деформации витки ввинчиваются один в другой.
Формула коэффициента жесткости цилиндрической пружины
Для винтовой цилиндрической пружины, намотанной из проволоки круглого сечения, коэффициент жесткости рассчитывается по формуле:
k = Gd4/8D3n
где:
- G - модуль сдвига материала проволоки
- d - диаметр проволоки
- D - средний диаметр пружины
- n - число витков пружины
Данная формула коэффициента жесткости пружины получена из закона Гука для крутящих напряжений с учетом геометрических параметров пружины. Чем больше диаметр проволоки, ее модуль сдвига и число витков, тем выше жесткость пружины. Увеличение диаметра самой пружины ведет к снижению жесткости.
Рассмотрим конкретный пример. Пусть пружина намотана из стальной проволоки (G = 79,3 ГПа) диаметром d = 3 мм. Средний диаметр пружины D = 30 мм, число витков n = 15. Тогда коэффициент жесткости равен:
k = 79,3·109 · 34 / (8·303·15) = 60 000 H/м
Полученное теоретическое значение хорошо согласуется с данными испытаний таких пружин.
Другой важный параметр пружины - ее ход, то есть максимально возможная деформация без потери упругих свойств. Для рассматриваемой пружины ход составляет 15-20 мм. Зная ход и жесткость, можно рассчитать максимальную нагрузку, выдерживаемую пружиной (произведение жесткости на ход).
Жесткость при последовательном и параллельном соединении пружин
В механических системах часто используется соединение нескольких пружин либо последовательно (одна за другой), либо параллельно (рядом). В этих случаях формула жесткости имеет некоторые особенности.
При последовательном соединении пружины работают на общую нагрузку, при этом:
- Общая деформация равна сумме деформаций отдельных пружин
- На каждую пружину действует одна и та же сила
Жесткость при последовательном и параллельном соединении пружин
В механических системах часто используется соединение нескольких пружин либо последовательно (одна за другой), либо параллельно (рядом). В этих случаях формула жесткости имеет некоторые особенности.
При последовательном соединении пружины работают на общую нагрузку, при этом:
- Общая деформация равна сумме деформаций отдельных пружин
- На каждую пружину действует одна и та же сила
Исходя из закона Гука, получаем формулу для эквивалентной жесткости системы последовательно соединенных пружин:
1/kэкв = 1/k1 + 1/k2 + ... + 1/kn
Коэффициент жесткости пружины: формула через длину
Жесткость пружины напрямую зависит от ее исходной длины в недеформированном состоянии l0. Увеличение этой длины приводит к снижению жесткости. Для учета длины в формуле коэффициента жесткости ее можно представить в виде:
k = F/Δl = F · l0/x · l0 = c · l0
где F - сила, действующая на пружину при деформации x; Δl = x · l0 - абсолютное удлинение пружины; c = F/x - жесткость, приведенная к единичной длине.
Помимо длины, на жесткость пружины влияет и ее масса, которая определяется плотностью материала ρ и объемом пружины. Учитывая, что объем пропорционален длине, получаем следующую приближенную зависимость:
k ~ 1/ρ · l0
То есть при прочих равных условиях, более длинные и легкие пружины имеют меньшую жесткость. Это можно объяснить тем, что увеличение массы и размеров затрудняет упругую деформацию пружины.
Упругий ход пружин
Важным параметром пружины помимо жесткости является упругий ход - максимальное ее сжатие или растяжение, при котором сохраняются упругие свойства. Этот параметр определяет максимальную полезную работу, которую может совершить пружина.
Влияние массы на жесткость
Как упоминалось ранее, на массу пружины также влияет на ее жесткость. Увеличение массы за счет большей плотности или размеров пружины приводит к росту жесткости. Однако чрезмерное увеличение массы может привести к появлению остаточных деформаций и снижению ресурса пружины.
Применение композитных материалов
Перспективным направлением развития пружинных элементов является применение композитов на основе углеродного волокна и полимерной матрицы. Такие материалы отличаются достаточно высокой удельной прочностью и жесткостью при небольшой плотности.