Теоретическое корреляционное отношение - это...

Теоретическое корреляционное отношение позволяет оценить тесноту любой, в том числе нелинейной, связи между переменными. Давайте разберемся, что это такое, как его рассчитать и интерпретировать.

Определение теоретического корреляционного отношения

Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:

η² = 1 - D_resY/D_Y

где D_resY - остаточная дисперсия выровненных значений зависимой переменной Y, D_Y - общая дисперсия Y.

Из формулы видно, что теоретическое корреляционное отношение тесно связано с коэффициентом детерминации R², так как оба показателя характеризуют долю вариации результативного признака Y, объясненную влиянием факторного признака X, в общей вариации Y.

Основное отличие теоретического корреляционного отношения от эмпирического в том, что:

• Теоретическое η² рассчитывается с использованием модели связи между X и Y
• Эмпирическое η² рассчитывается на основе группировки эмпирических данных без моделирования связи

Интерпретация значений теоретического корреляционного отношения

Для оценки тесноты связи по величине теоретического корреляционного отношения часто используется шкала Чеддока:

При наличии линейной связи между признаками X и Y теоретическое корреляционное отношение численно равно абсолютному значению линейного коэффициента корреляции: η = |r|.

Например, если теоретическое корреляционное отношение равно 0.82, это говорит о высокой тесноте связи между анализируемыми признаками. При наличии линейной зависимости коэффициент корреляции Пирсона в этом случае также составит 0.82.

Корреляционное отношение рассчитывается в несколько этапов

Для расчета теоретического корреляционного отношения необходимо:

1. Построить модель связи (функцию регрессии) между зависимой переменной Y и независимой переменной X
2. Рассчитать остаточную и общую дисперсии Y
3. Подставить полученные значения дисперсий в формулу теоретического корреляционного отношения

При моделировании функциональной связи рекомендуется использовать различные типы аппроксимирующих функций (линейная, полиномиальная, степенная, экспоненциальная, логарифмическая и др.) и выбирать ту, которая обеспечивает наименьшую остаточную дисперсию.

Например, по экспериментальным данным о связи некоторого показателя Y с временем X была построена линейная модель связи:

Y = 2.5X + 4

Остаточная дисперсия по этой модели составила 25, общая дисперсия Y - 100. Подставляем значения дисперсий в формулу:

η² = 1 - D_resY/D_Y = 1 - 25/100 = 0.75

Теоретическое корреляционное отношение равно 0.75, что говорит о высокой тесноте связи между Y и X.

Сравнение теоретического и эмпирического корреляционных отношений

Теоретическое и эмпирическое корреляционные отношения имеют свои области применения.

Теоретическое η² целесообразно использовать, когда:

• Имеется достаточный объем данных для построения адекватной модели связи между Х и Y
• Форма связи заранее неизвестна и может быть нелинейной

Эмпирическое η² предпочтительно рассчитывать в ситуациях:

• Объем выборки данных невелик
• Исследуется качественный факторный признак

Основное преимущество теоретического корреляционного отношения в том, что оно позволяет анализировать любой вид связи - как линейной, так и нелинейной. Однако расчет теоретического показателя требует большего объема вычислений и наличия качественных данных.

Для наглядности рассмотрим конкретный пример сравнения η² на одних и тех же данных. Пусть имеются значения некого показателя Y в зависимости от времени X. По этим данным были рассчитаны:

• Теоретическое корреляционное отношение с помощью линейной модели связи: η² = 0.7
• Эмпирическое корреляционное отношение методом группировки данных: η² = 0.68

Как видим, теоретический и эмпирический показатели близки по значению, что говорит в пользу адекватности построенной линейной модели.

Корреляционное отношение в регрессионном анализе

Помимо оценки тесноты связи, корреляционное отношение играет важную роль в регрессионном анализе при разработке моделей зависимости одной переменной от другой.

Коэффициент детерминации R², численно равный квадрату корреляционного отношения, показывает какую долю вариации результативного признака Y удается объяснить влиянием факторов X, включенных в модель.

Таким образом, корреляционное отношение позволяет выявить в регрессионной модели наиболее значимые факторы и исключить малозначимые, что ведет к повышению точности прогнозов.

Применение корреляционного отношения для анализа данных

Корреляционное отношение широко используется в экономических исследованиях для оценки влияния различных факторов, таких как инвестиции, процентные ставки, уровень безработицы и т.д. на макроэкономические показатели: ВВП, инфляцию, объем производства и др.

Например, с помощью корреляционного анализа можно определить, насколько сильно изменение ставки рефинансирования Центробанка влияет на динамику инвестиций в основной капитал предприятий. Это позволяет принимать более обоснованные управленческие решения в области денежно-кредитной политики.

Однако при использовании корреляционного отношения в анализе необходимо понимать, что высокая теснота связи не всегда означает наличие причинно-следственной зависимости между явлениями. Могут действовать и другие скрытые факторы, влияющие одновременно на оба рассматриваемых показателя.

Расчет корреляционного отношения в Python

Для расчета и анализа корреляционного отношения на языке Python можно использовать встроенные библиотеки:

• pandas
• numpy
• scipy.stats

Загрузка и подготовка данных в Python

Для начала необходимо загрузить исходные данные, например, из CSV файла с помощью модуля Pandas:

 import pandas as pd data = pd.read_csv('data.csv') 

Далее данные нужно подготовить для анализа: очистить от пропусков и выбросов, отобрать нужные числовые столбцы (как правило, это зависимая переменная Y и независимые переменные X), преобразовать в numpy массив:

 import numpy as np X = data['x'].values Y = data['y'].values 

Проверка данных на нормальность распределения

Перед применением корреляционного анализа необходимо убедиться, что распределение исходных данных близко к нормальному. Для этого используется, например, критерий Шапиро-Уилка:

 from scipy.stats import shapiro stat, p = shapiro(X) print(p > 0.05) # Распределение нормально, если p > 0.05 

Расчет корреляционной матрицы

Для выявления наличия корреляционных связей между переменными строится корреляционная матрица, в которой на пересечении строк и столбцов указаны парные коэффициенты корреляции:

 import numpy as np from scipy.stats import pearsonr corr_matrix = np.zeros((X.shape[1], X.shape[1])) for i in range(X.shape[1]): for j in range(X.shape[1]): r, _ = pearsonr(X[:,i], X[:,j]) corr_matrix[i, j] = r 

На основе анализа корреляционной матрицы можно выбрать факторы X, которые оказывают наибольшее влияние на Y.

Построение и оценка модели регрессии

Далее строится регрессионная модель зависимости Y от отобранных факторов X с использованием библиотеки sklearn:

from sklearn.linear_model import LinearRegression model = LinearRegression() model.fit(X, y) y_pred = model.predict(X) 

По полученной модели рассчитывается коэффициент детерминации R², равный квадрату корреляционного отношения между фактическими и предсказанными значениями Y.