Окружность, описанная около четырехугольника: свойства и признаки

Когда окружность касается всех сторон четырехугольника, возникает удивительный эффект - появляются новые закономерности в соотношении элементов этих геометрических фигур. Давайте исследуем их!

Основные определения и обозначения

Напомним несколько базовых понятий. Описанной около четырехугольника называется окружность, которая касается всех его сторон. В этом случае четырехугольник называется вписанным в окружность.

На рисунке видно, что точки пересечения сторон четырехугольника ABCD и описанной окружности обозначаются буквами E, F, G и H. Это позволяет записывать соотношения между отрезками, которые являются элементами и четырехугольника, и окружности.

Четырехугольники классифицируют по различным признакам - равенству сторон, величине углов, параллельности сторон. Далее речь пойдет о таких частных случаях:

• квадрат и прямоугольник
• параллелограмм и ромб
• равнобедренная и прямоугольная трапеции

Теорема об углах четырехугольника, описанного около окружности

Докажем одну важную теорему:

Сумма противолежащих углов четырехугольника, окружность описанная около четырехугольника, равна 180°.

Приступим к доказательству методом от противного и рассмотрим два случая.

Из этой теоремы вытекает следствие: если известна величина двух углов четырехугольника описанного около окружности, то легко найти две другие. Это позволяет решать многие геометрические задачи, например...

Вот еще одна интересная задача на применение теоремы об углах:

По теореме, ∠A + ∠C = 180°. Отсюда ∠C = 180° - 80° = 100°. Ответ: 100°.

Признак четырехугольника, описанного около окружности

Сформулируем необходимое и достаточное условие существования описанной окружности.

Проверим выполнение этого признака в случае прямоугольника:

В прямоугольнике, стороны четырехугольника описанного около окружности AB = CD и AD = BC. Значит, выполнено равенство сумм противоположных сторон.

А теперь рассмотрим одну из задач на применение признака описанного четырехугольника.

Решение задачи на признак описанного четырехугольника

Рассмотрим задачу:

Дан четырехугольник описанный около окружности. Его первая сторона равна 5 см, вторая сторона равна 12 см, третья сторона равна 13 см. Чему равна четвертая сторона этого четырехугольника?

Решение. По признаку описанного четырехугольника, сумма первой и третьей сторон должна быть равна сумме второй и четвертой сторон:

5 + 13 = 12 + x

18 = 12 + x

x = 6 (см)

Ответ: 6 см.

Около правильного четырехугольника описана окружность

Частным случаем является правильный четырехугольник - квадрат. У него все стороны и углы равны. Интересный факт - около любого квадрата можно описать окружность.

Это следует из признака описанного четырехугольника: в квадрате суммы противоположных сторон всегда равны.

Вычисление периметра описанного четырехугольника

Зная длины сторон четырехугольника, описанного около окружности, можно легко вычислить его периметр - это сумма всех сторон:

P = AB + BC + CD + AD

Например, для четырехугольника описанного около окружности со сторонами 5, 12, 13 и 6 см периметр равен:

P = 5 + 12 + 13 + 6 = 36 см

Свойство диагоналей описанного четырехугольника

Докажем еще одну интересную теорему о том, что диагонали описанного четырехугольника всегда взаимно перпендикулярны, то есть пересекаются под прямым углом.

Рассмотрим отрезки AF и CG - это диагонали четырехугольника ABCD. Проведем из точки F перпендикуляр FH к прямой CG. Так как CG касается описанной окружности, то FH - это радиус этой окружности.

По теореме Фалеса отрезки AF и HG отсекают на окружности равные дуги, поэтому углы AHF и HCG равны, как опирающиеся на равные дуги. Но треугольник FHG - равнобедренный, значит угол HGF прямой. Получаем, что диагонали AF и CG пересекаются под прямым углом.

Это свойство используется при решении многих задач на вычисление элементов описанного четырехугольника.

Примеры четырехугольников, описанных около окружности

Рассмотрим несколько конкретных примеров четырехугольников, для которых выполняется рассмотренный выше признак существования описанной окружности:

• Равносторонний четырехугольник (ромб)
• Прямоугольник со сторонами 3 и 4
• Равнобедренная трапеция с основаниями 5 и 8

Для каждой из этих фигур можно описать окружность, касающуюся всех сторон, и вычислить радиус этой окружности по теореме.

Применение свойств описанных четырехугольников

Свойства четырехугольника, описанного около окружности, широко применяются в геометрии, архитектуре, технике.

Еще одно интересное приложение - это построение правильных многоугольников с использованием описанных окружностей.