Окружность вписана в треугольник: как найти и для чего это нужно

Еще в глубокой древности ученые заметили удивительный факт: в любой треугольник можно вписать ровно одну окружность, которая касается всех трех его сторон. Откуда берется эта окружность и как ее найти? Чтобы ответить на эти вопросы, нужно разобраться в удивительных свойствах биссектрис и перпендикуляров треугольника. В этой статье вы узнаете, как вычислить радиус и координаты центра вписанной окружности, найти ее площадь и объяснить, зачем все это нужно в реальной жизни.

1. Определение и свойства вписанной окружности

Дадим формальное определение:

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех трех его сторон. В этом случае треугольник называют описанным около окружности.

Центр такой окружности всегда лежит внутри треугольника. Удивительный факт, доказанный еще в античные времена: в любой треугольник можно вписать ровно одну окружность. Докажем это свойство с помощью биссектрис.

Биссектриса треугольника — это луч, делящий угол пополам. Из курса геометрии известно, что все три биссектрисы пересекаются в одной точке. Назовем ее O. Рассмотрим окружность с центром в этой точке и проходящую через точки пересечения с перпендикулярами, опущенными из точки O на стороны (см. рисунок).

Поскольку O лежит на биссектрисах, она находится на равных расстояниях от сторон треугольника. Значит, отрезки OK, OL и OM равны радиусу окружности r и перпендикулярны соответствующим сторонам. Получаем, что данная окружность касается всех трех сторон треугольника a. Таким образом, мы доказали, что через точку пересечения биссектрис всегда проходит вписанная окружность, причем только одна.

Кроме того, у этой окружности есть и другие интересные свойства:

• Ее центр лежит на пересечении медиан треугольника
• Радиусы, проведенные в точки касания, являются также высотами треугольника
• Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус окружности

Эти факты мы еще докажем в следующих разделах. А пока посмотрим, как concretely найти радиус и координаты центра вписанной окружности.

2. Как найти центр и радиус вписанной окружности

Итак, мы выяснили, что центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. Это утверждение формулируется в виде отдельной теоремы:

Теорема. Биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в него окружности.

Докажем этот факт. Пусть дан треугольник ABC с вершинами A, B и C. Проведем в нем биссектрисы углов, например методом откладывания расстояний от вершин до сторон с помощью циркуля и линейки. Обозначим точку их пересечения буквой O.

Так как O лежит на биссектрисе ∠ACB, отрезки OA и OC равны. Аналогично, поскольку O принадлежит биссектрисе ∠ABC, отрезки OB и OC также равны. Сравнивая эти равенства, получаем: OA = OB = OC.

Это означает, что точка O равноудалена от всех трех сторон triangle'a. Значит, окружность центром в точке O радиусом OA (равным расстоянию до сторон) будет касаться сторон треугольника. Иными словами, это и есть вписанная окружность.

Теперь найдем общую формулу для вычисления ее радиуса через стороны треугольника a, b, c:

Здесь p - полупериметр треугольника ABC, вычисляемый по формуле:

p = (a + b + c) / 2

Для проверки вычислим радиус окружности вписанной в треугольник со сторонами a = 5 см, b = 6 см, c = 7 см. Сначала найдем полупериметр:

p = (a + b + c) / 2 = (5 + 6 + 7) / 2 = 9 см

Подставляя это значение в формулу радиуса, получим:

r = √(p(p - a)(p - b)(p - c)) / p = √(9·4·3·2) / (2·9) = 6 / 9 = 2 см

Мы научились находить радиус и координаты центра (точку пересечения биссектрис) вписанной окружности в произвольном треугольнике. А если он имеет какую-то особую форму: равносторонний, равнобедренный или прямоугольный? Рассмотрим специальные случаи.

Специальные случаи треугольников

Рассмотрим несколько важных частных случаев треугольников и формулы для радиусов вписанных в них окружностей.

Равносторонний треугольник

Если все три стороны треугольника равны между собой (обозначим a = b = c), то получаем радиус окружности вписанной в правильный треугольник. Для него полупериметр p = 3a / 2, подставляя в общую формулу.

Видим, что радиус окружности, которая вписана в правильный треугольник, численно равен стороне, деленной на √3.

Правильный равнобедренный треугольник

В случае когда две стороны треугольника b = c являются равными (а третья сторона a может от них отличаться), выводится следующая формула для радиуса:

где p = (a + 2b) / 2 - полупериметр, вычисленный через неравную сторону a и равные стороны b.

Прямоугольный треугольник

Если один из углов треугольника ABC прямой (равен 90°), то он называется прямоугольным. Пусть c - гипотенуза, а a, b - катеты, тогда радиус получается из выражения:

Здесь полупериметр p = (a + b + c) / 2 считается по трем сторонам как обычно.

Вывод формул для частных случаев

Выше мы привели готовые формулы для радиусов вписанных окружностей в специальных треугольниках. Но как они были найдены? Рассмотрим вывод одной из них.

Возьмем равнобедренный треугольник с "правильный" неравной стороной a и двумя равными сторонами b. Тогда полупериметр p = (a + 2b) / 2. Подставляя это выражение в общую формулу радиуса через стороны и упрощая, получаем:

Проделав аналогичные преобразования для других случаев, можно вывести соответствующие формулы радиуса. Это полезный навык при решении геометрических задач.