Теорема Чевы: формулировка и доказательство
Теорема Чевы - удивительное утверждение геометрии треугольника, позволяющее элегантно доказывать другие фундаментальные факты. Давайте разберемся в ее формулировке и сути.
Формулировка теоремы Чевы
Чевианой называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне или ее продолжении. Например, на рисунке изображены чевианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC:
Теорема Чевы утверждает:
Чевианы треугольника пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство:
Где A1, B1 и C1 - точки пересечения чевиан с соответствующими сторонами треугольника. Иными словами, если три отрезка, проведенные из вершин треугольника, пересекаются в одной точке, то выполняется приведенное выше соотношение. И наоборот, если это соотношение справедливо, то отрезки обязательно пересекаются в одной точке.
Необходимость теоремы Чевы
Чтобы понять важность теоремы Чевы, достаточно увидеть, как с ее помощью доказываются некоторые другие фундаментальные факты геометрии треугольника. Рассмотрим несколько примеров.
Пересечение медиан треугольника в одной точке
Известно, что медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, причем эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Докажем это утверждение, используя теорему Чевы.
Пусть AA1, BB1 и CC1 - медианы треугольника ABC (рисунок). Тогда по определению медианы имеем:
- AB = 2*A1B
- AC = 2*A1C
- BC = 2*B1C
Подставляя это в формулу теоремы Чевы, получаем:
Значит, по теореме Чевы медианы пересекаются в одной точке. Теорема доказана с помощью теоремы Чевы!
Пересечение биссектрис треугольника в одной точке
Аналогично можно показать, что и биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной окружности. В самом деле, пусть AA1, BB1 и CC1 - биссектрисы треугольника ABC (рисунок). Тогда по определению биссектрисы:
- AB = AC
- BC = BA
- CA = CB
Отсюда получаем то самое соотношение теоремы Чевы. Значит, биссектрисы пересекаются в одной точке - центре вписанной окружности.
Пересечение высот треугольника в одной точке
"теорема чевы доказательство"
Аналогичным образом, опираясь на теорему Чевы, можно строго доказать, что высоты любого треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство теоремы Чевы
"геометрия треугольники теоремы"
Теперь давайте разберемся, как же доказывается сама теорема Чевы. Здесь нужно доказать два утверждения:
- Необходимость: если чевианы пересекаются в одной точке, то выполняется нужное соотношение
- Достаточность: если выполнено соотношение теоремы Чевы, то чевианы пересекаются в одной точке
Доказательство необходимости
Пусть имеется треугольник ABC с чевианами AA1, BB1 и CC1, пересекающимися в точке K (рисунок). Нам нужно доказать, что в этом случае выполнено равенство:
Для этого заметим, что отношение площадей подобных треугольников равно отношению квадратов их высот. Поэтому для треугольников AKC и A1KC имеем:
Аналогичные соотношения справедливы и для пар треугольников ABK и A1BK, а также BKC и B1CK. Перемножая эти равенства, как раз и получаем требуемую формулу теоремы Чевы. Значит, необходимость доказана.
Доказательство достаточности
Теперь докажем, что если выполнено соотношение теоремы Чевы, то чевианы обязательно пересекаются в одной точке. Для этого воспользуемся методом от противного.
Предположим, что чевианы AA1 и BB1 пересекаются в некоторой точке K, а чевиана CC1 проходит через другую точку L (рисунок). Тогда проведем через точки K и C отрезок L1C1, параллельный AB.
Получаемые при этом треугольники AKL1 и ALC1 подобны, поэтому:
Аналогичное соотношение справедливо и для пар треугольников BKL1 и BLC1. Перемножая эти два равенства и учитывая, что по предположению выполнено соотношение теоремы Чевы, приходим к выводу:
Но это возможно только в случае, если точки L и K совпадают. Значит, наше предположение о том, что CC1 проходит не через точку K, было неверно.
Таким образом, доказана достаточность утверждения теоремы Чевы. Теорема полностью доказана.
Следствия из теоремы Чевы
Теперь, когда мы изучили формулировку и доказательство теоремы Чевы, давайте рассмотрим некоторые интересные следствия, которые из нее вытекают.
Одно из важных следствий теоремы Чевы - утверждение о пересечении касательных к вписанной в треугольник окружности. А именно, три отрезка из вершин треугольника ABC к точкам касания вписанной окружности с противоположными сторонами пересекаются в одной точке (рисунок).
Это можно строго доказать, подставив соответствующие длины касательных в формулу теоремы Чевы. Получившееся равенство позволит сделать вывод о пересечении рассматриваемых отрезков в одной точке.
Симмедианы треугольника
Еще один интересный факт, доказываемый на основе теоремы Чевы - это утверждение о пересечении симмедиан треугольника (отрезков, соединяющих середины двух сторон треугольника с противоположной вершиной) в одной точке.
Кроме того, существует множество других утверждений о замечательных свойствах треугольника, для строгого доказательства которых используется теорема Чевы.
Заключение
В данной статье подробно разбирается классическая "теорема Чевы" - удивительное утверждение геометрии треугольника. Приводится точная формулировка теоремы, поясняется с помощью иллюстраций. Дается полное доказательство, в том числе достаточности и необходимости. Показано, как на основе теоремы Чевы строго доказываются другие факты о треугольнике. Рассмотрен ряд важных следствий из этой теоремы.