Производная ln: как найти и для чего она нужна
Производная натурального логарифма - важный математический инструмент с множеством применений. Давайте разберемся, что это такое, как вычислить и где использовать.
Определение и обозначение производной ln
Натуральный логарифм - это логарифм с основанием e, где e ≈ 2,72 - число, известное как основание натуральных логарифмов. Обозначается ln.
Производная натурального логарифма - это предел отношения приращения функции ln x к приращению аргумента x. Обозначается (ln x)'.
(ln x)' = lim_{Δx→0} (ln(x + Δx) - ln x) / Δx
Геометрически производная ln' показывает наклон касательной к графику функции ln x в данной точке. Чем больше производная - тем круче поднимается кривая ln x.
Производная натурального логарифма часто встречается в математическом анализе. Например:
- Вычисление пределов функций, содержащих ln x
- Нахождение экстремумов функций с логарифмами
- Решение некоторых дифференциальных уравнений
Рассмотрим свойства производной ln:
- Непрерывна на всей области определения
- Монотонно убывает при x > 0
- Стремится к бесконечности при x, стремящемся к 0
Эти свойства полезно знать при анализе функций, содержащих ln.
Вывод формулы производной ln
Производную натурального логарифма можно вывести несколькими способами. Рассмотрим вывод из определения производной с использованием пределов и логарифмических тождеств.
Пусть функция y = ln x. Тогда:
(ln x)' = lim_{Δx→0} (ln(x + Δx) - ln x) / Δx =
= lim_{Δx→0} ln(1 + Δx/x) / (Δx/x)
Используем свойства логарифмов и второй замечательный предел, получаем:
(ln x)' = lim_{Δx→0} ln(1 + Δx/x) / (Δx/x) = 1/x
Таким образом, производная натурального логарифма равна:
(ln x)' = 1/x
Аналогично можно получить производную логарифма с произвольным основанием a:
(loga x)' = 1 / (x ln a)
Для вывода нам потребовались следующие факты:
- Логарифмические тождества
- Непрерывность логарифма
- Предел (1 + Δx/x)Δx/x при Δx → 0
Также можно вывести, используя правило дифференцирования сложной функции или формулу производной обратной функции.
Примеры вычисления производной ln
Рассмотрим несколько примеров нахождения производной от функций, содержащих натуральный логарифм.
Пример 1. Найти производную y' функции y = ln(2x)
Решение. Представим функцию как сложную: y = ln(2x) = ln 2 + ln x. Тогда y' = (ln x)' = 1/x
Пример 2. Вычислить производную функции y = (ln x)^2
Решение. Применим правило дифференцирования степенной функции: y' = 2(ln x)(ln x)' = 2(ln x) · 1/x = 2 · (ln x)/x
| x | 1 | 2 | 5 |
| (ln x)' | 1 | 1/2 | 1/5 |
В таблице приведены значения производной натурального логарифма в заданных точках. Видно, что производная убывает при увеличении x.
При нахождении производной сложной функции удобно разложить ее на простые составляющие. А затем применить известные правила дифференцирования.
Применение производной ln
Рассмотрим основные области применения производной натурального логарифма в математическом анализе и других дисциплинах.
Вычисление пределов функций
Часто для вычисления пределов функций, содержащих логарифмы, используют формулу производной ln. Например:
lim_{x → 0} (ln(1 + 3x) - ln(1+2x)) / x = lim_{x → 0} (3 - 2)/x = 1
Здесь мы воспользовались тем, что предел производной ln равен 1/x при x, стремящемся к нулю.
Нахождение экстремумов
Для нахождения точек максимума/минимума функции берут производную и приравнивают к нулю. Например, найдем экстремумы функции:
f(x) = 2 ln x + 5
Имеем:
f'(x) = (2 ln x)' + 0 = 2/x = 0
Решая уравнение 2/x = 0, находим единственную критическую точку x = +∞. Это точка минимума функции f(x).
Задачи оптимизации
Производная позволяет решать различные оптимизационные задачи - на максимум прибыли, скорости и т.д. Рассмотрим классическую задачу.
Найти размеры открытого цилиндрического резервуара с заданным объемом V, при которых потребуется наименьшее количество материала для его изготовления.
Пусть h - высота, r - радиус. Объем цилиндра: V = πr2h. Площадь боковой поверхности (материал): S = 2πrh. Выражаем h и подставляем в S. Получаем функцию от r, которую минимизируем, взяв производную и приравняв к 0.
Вычисление интегралов
Производную ln часто используют в интегралах методом подстановки. Например, вычислим интеграл от ln x.
Пусть t = ln x, тогда x = et, dx = etdt. Заменяем и находим неопределенный интеграл:
∫ ln x dx = ∫ t et dt = ∫ tet dt = et = x
В теории информации используют формулу Шеннона для энтропии:
H = -∑ pi log2 pi
Здесь важную роль играет логарифм по основанию 2. Его производная имеет простой вид (ln 2)' = 1/ln 2 ≈ 1.44.
Другие применения производной ln
Решение дифференциальных уравнений
Производная натурального логарифма позволяет решать некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Рассмотрим пример:
y′ + y/x = 1/x
Здесь в правой части стоит производная натурального логарифма. Применим метод вариации произвольной постоянной:
y = C + ∫ (1/x) dx = C + ln|x|
Подставляя это решение в исходное уравнение, находим постоянную C = 0. Ответ:
y = ln|x|
Асимптотическое поведение функций
Асимптотику функции при стремлении аргумента к бесконечности удобно исследовать с помощью производной. Если в функции есть член вида ln x, то при больших значениях x он будет расти медленнее любой степенной функции.
Например, при x → +∞ значение функции f(x) = x^2 + 3 ln x будет асимптотически равно x^2, поскольку ln x растет значительно медленнее.
Приближенные вычисления
Производная используется для оценки погрешности при разложении функции в ряд и вычислении значений. Например, можно оценить погрешность линеаризации ln x в окрестности точки.
Геометрические приложения
В геометрии производная ln' = 1/x связана с понятием экспоненты кривой – величины, характеризующей, насколько быстро кривая удаляется от касательной с ростом x.