Когда вектор перпендикулярен вектору: признаки и методы проверки

Векторы повсюду вокруг нас. Они помогают описать любое направленное движение: от полета самолета до прыжка баскетболиста. Перпендикулярность векторов - одно из фундаментальных понятий векторной алгебры. Оно широко применяется во многих областях: в физике при описании сил и скоростей, в аналитической геометрии при построении уравнений прямых и плоскостей, в информатике при работе с графикой.

Определение перпендикулярных векторов

Дадим определение:

Два ненулевых вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов (π/2 радиан).

Геометрически это означает, что если отложить от некоторой точки векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), то угол между ними будет прямой.

Признак перпендикулярности векторов

Чтобы проверить, являются ли два вектора перпендикулярными, не всегда удобно пользоваться их геометрическим определением. Гораздо проще воспользоваться аналитическим признаком.

• Для векторов на плоскости он записывается так:

  \(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)

• Для векторов в пространстве:

  \(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)

Где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) - скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Проверка перпендикулярности векторов

Используя признак перпендикулярности, можно легко проверить, перпендикулярны два вектора или нет. Рассмотрим пример.

Задача. Проверить, перпендикулярны ли векторы \(\vec{a}=(3, 2, 4)\) и \(\vec{b}=(1, 5, -2)\).

Решение. Вычислим скалярное произведение этих векторов:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3·1 + 2·5 + 4·(-2) = 3 + 10 - 8 = 5 \neq 0\)

Так как скалярное произведение не равно нулю, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не являются перпендикулярными.

Аналогично можно проверять перпендикулярность векторов в любых других задачах: достаточно вычислить их скалярное произведение и посмотреть, равно ли оно нулю.

Как найти вектор, перпендикулярный данному

Часто бывает нужно найти вектор, который перпендикулярен заданному вектору. Отметим сразу, что таких перпендикулярных векторов бесконечно много. Но мы покажем, как найти хотя бы один из них.

1. Если задан вектор \(\vec{a}=(a_x, a_y)\) на плоскости, то вектор \(\vec{b}=(b_x, b_y)\), перпендикулярный ему, должен удовлетворять условию:

   \(a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y = 0\)

2. Примем одну из координат вектора \(\vec{b}\) за произвольную константу, например, \(b_x=1\).
3. Тогда из уравнения перпендикулярности найдем вторую координату:

   \(a_x \cdot 1 + a_y \cdot b_y = 0 \Rightarrow b_y = -a_x\)

4. Подставим найденное значение \(b_y\) в координаты вектора \(\vec{b}\). Получим искомый перпендикулярный вектор:

   \(\vec{b} = (1, -a_x)\)

Аналогично можно найти вектор в пространстве, перпендикулярный заданному вектору \(\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)\). Формулы для нахождения будут выглядеть чуть сложнее, но алгоритм тот же самый.

Давайте потренируем этот алгоритм на конкретном примере.

Задача. Найти вектор \(\vec{b}\), перпендикулярный вектору \(\vec{a}=(5,2,-3)\).

Решение.

1. Запишем уравнение перпендикулярности:

   \(5x + 2y - 3z = 0\)

2. Пусть \(x=1\).
3. Тогда \(5 + 2y - 3z = 0 \Rightarrow 2y - 3z = -5\)
4. Примем \(z=2\). Подставим в уравнение: \(2y = 1 \Rightarrow y = 0.5\)
5. Получаем искомый перпендикулярный вектор \(\vec{b}=(1, 0.5, 2)\).

Мы рассмотрели лишь один из способов нахождения перпендикулярного вектора. На самом деле их гораздо больше. Например, можно воспользоваться векторным произведением.

Перпендикулярные векторы в применении

Рассмотрим несколько практических примеров, где пригодится умение находить перпендикулярные векторы.

• Вычисление площади параллелограмма. Если известны две стороны параллелограмма в виде векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), то его площадь можно вычислить по формуле:

  S = |\vec{a} \times \vec{b}|

  Где \(\vec{a} \times \vec{b}\) - векторное произведение векторов. А поскольку \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) в параллелограмме не перпендикулярны, то приходится находить перпендикулярный к одному из них вектор.
• Нахождение проекции вектора. Чтобы найти проекцию вектора \(\vec{a}\) на другой вектор \(\vec{b}\), нужно сначала найти вектор \(\vec{b}_\perp\), перпендикулярный \(\vec{b}\). А дальше вычислить скалярное произведение:

  proj\_{\vec{b}}\vec{a} = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b}

• Задачи с силами. В физике очень часто приходится находить равнодействующую нескольких сил. Если силы направлены под углом друг к другу, то для вычислений также используют перпендикулярные составляющие.

Как видите, умение оперировать перпендикулярными векторами позволяет решать множество прикладных задач.

Рассмотрим еще несколько практических примеров использования перпендикулярных векторов.

Решение систем линейных уравнений

Одним из важных приложений в линейной алгебре является решение систем линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

• a₁x + b₁y = c₁

• a₂x + b₂y = c₂

Здесь коэффициенты a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ известны, а x и y - неизвестные. Чтобы найти решение такой системы, ее можно представить в виде двух векторных уравнений. При этом векторы коэффициентов при неизвестных должны быть линейно независимыми, то есть не коллинеарными или, проще говоря, не перпендикулярными. Тогда система будет иметь единственное решение, которое можно будет найти методом Крамера или другим способом.

Задачи аналитической геометрии

В аналитической геометрии векторы широко используются для задания уравнений прямых и плоскостей. Например, любую плоскость в пространстве можно задать уравнением:

(n, x) = d

Здесь n - вектор нормали к плоскости, x - радиус-вектор произвольной точки плоскости, а d - скалярная величина. Как видно, в уравнение входит скалярное произведение векторов. Для однозначного задания плоскости векторы n и x должны быть перпендикулярны. Аналогично, уравнения прямых на плоскости или в пространстве также содержат перпендикулярные векторы направляющих.

Расчеты в теоретической механике

Перпендикулярные составляющие векторных величин часто используются в теоретической механике при кинематических и динамических расчетах.

Например, сложное движение материальной точки или твердого тела всегда можно разложить на простые - поступательное и вращательное. А они в свою очередь могут иметь перпендикулярные составляющие.

В задачах динамики силы, приложенные к телу, также разлагают на перпендикулярные составляющие. Это позволяет проще записывать уравнения движения.

Решение дифференциальных уравнений

Многие дифференциальные уравнения физики и техники описывают перпендикулярные колебания или волны. К таким уравнениям относятся волновое уравнение, уравнение поперечных колебаний струны, мембраны или балки и др.

Для решения таких ДУ часто применяют разложение решения в ряд Фурье по базисным функциям, которые также являются взаимно перпендикулярными.

Обработка сигналов и изображений

Цифровая обработка сигналов и изображений немыслима без преобразования Фурье и вейвлет-преобразований. В основе этих методов лежит разложение исходного сигнала на перпендикулярные составляющие - гармоники, вейвлеты и пр. Анализируя и фильтруя эти составляющие, можно эффективно улучшать качество звука, изображений и другой информации.