Дифференцируемость функций: определение, примеры

Дифференцируемость функций - одно из фундаментальных понятий математического анализа. Но что это такое на самом деле и зачем оно нужно? Давайте разберемся!

1. Понятие дифференцируемости функции

В учебниках дается следующее определение:

Функция f называется дифференцируемой в точке x₀, если существует предел.

Это означает, что приращение функции Δy при малом изменении аргумента Δx можно представить как произведение некоторого коэффициента (производной) и самого приращения Δx с точностью до бесконечно малых величин более высокого порядка. Иными словами, поведение функции f(x) вблизи точки x₀ можно с достаточной для практики точностью считать линейным (прямолинейным).

Для дифференцируемой функции sin(x) при уменьшении ширины интервала Δx в окрестности точки х=0 график функции вырождается в отрезок прямой (аппроксимируется хордой), а разность между функцией и этой хордой стремится к нулю.

Из определения следует, что если функция дифференцируема в некоторой точке, то:

• Она определена в окрестности этой точки
• Она непрерывна в этой точке (но не наоборот!)

Рассмотрим несколько примеров:

1. Функция y = x² дифференцируема во всех точках
2. Функция y = |x| не дифференцируема в точке x=0
3. Функция y = 1 / x дифференцируема при всех x, кроме x=0

2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости

Для того, чтобы функция была дифференцируема в некоторой точке недостаточно одной лишь ее непрерывности. Необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

• Существуют односторонние производные слева и справа
• Они равны между собой

Это следует из так называемой леммы об односторонних производных.

Из леммы также следует, что если функция дифференцируема в некоторой точке, то односторонние производные в этой точке совпадают с производной:

То есть, геометрически это означает, что у дифференцируемой функции в данной точке существует единственная касательная.

В качестве примера можно привести функцию f(x) = |x|, которая непрерывна в точке x=0, но не дифференцируема, так как односторонние производные в этой точке не совпадают: слева производная равна -1, а справа +1.

2.1 Критерий дифференцируемости функции

Исходя из вышесказанного, можно сформулировать критерий, позволяющий определить, дифференцируема функция в данной точке или нет:

Таким образом, достаточно вычислить пределы односторонних производных и сравнить их, чтобы узнать о дифференцируемости функции.

2.2 Свойства дифференцируемых функций

Дифференцируемость функций обладает рядом удобных свойств, позволяющих легко вычислять производные для широкого класса функций. В частности, справедливы так называемые правила дифференцирования:

• Для суммы двух функций производная равна сумме производных этих функций
• Производная произведения функции на константу равна этой константе, умноженной на производную функции
• Производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой

Эти правила позволяют дифференцировать достаточно сложные функции, представимые в виде композиций элементарных функций. Например, для функции f(x) = 3·sin(4x + 5) сначала находим производную внутренней функции sin(4x + 5), умножаем ее на 4, а затем умножаем результат на 3.

2.3 Теоремы дифференциального исчисления

Помимо правил дифференцирования, в математическом анализе доказан целый ряд важных теорем, связывающих значения функции и ее производной в различных точках. К таким теоремам относятся:

• Теорема Ферма о экстремуме функции
• Теорема Ролля о нулях производной
• Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Например, из теоремы Ферма следует, что если функция достигает в точке локального экстремума (максимума или минимума), то ее производная в этой точке обязана быть равна нулю. Это свойство часто используется при поиске экстремумов функций в оптимизационных задачах.

2.4 Дифференцируемость функций нескольких переменных

Аналогичные подходы применимы и для исследования функций, зависящих от нескольких переменных. Для функции двух переменных f(x,y) понятие дифференцируемости означает существование частных производных по каждому аргументу.

При этом функция может обладать свойством частичной дифференцируемости, то есть иметь конечные производные только по некоторым переменным. Например, функция f(x,y) = |x| · y дифференцируема по y при любых значениях этих переменных, но недифференцируема по х в точке x=0.

2.5 Дифференциал функции

Еще одним важным понятием математического анализа, тесно связанным с дифференцируемостью, является дифференциал функции. Дифференциал функции f(x) в точке x обозначается как df.

Дифференциал df представляет собой линейную по приращению аргумента dx часть приращения функции dy. При малых dx дифференциал df дает хорошее линейное приближение для конечного приращения функции с точностью до бесконечно малых величин более высокого порядка.

2.6 Применение дифференциала в физике

Благодаря такому свойству, дифференциал часто используется в физических приложениях для упрощения вычислений. Если сила F является дифференцируемой функцией координаты x, то в формуле для работы можно заменить конечный прирост F(x+dx) - F(x) его дифференциалом dF = F'(x)*dx. Это даст точное значение работы силы с точностью до бесконечно малых второго порядка.

2.7 Особые точки графика функции

При исследовании функций важно уметь находить так называемые особые точки - точки, в которых функция может терять свойства непрерывности или дифференцируемости. К таким точкам относятся:

• Точки разрыва функции
• Точки разрыва производной (перегиба)
• Угловые точки

В этих точках нужно исследовать поведение функции и ее производной с двух сторон, применяя при необходимости односторонние пределы и производные. Например, для функции f(x) = |x| в точке x=0 слева производная равна -1, а справа +1, поэтому функция не дифференцируема в этой точке.

2.8 Обобщения понятия дифференцируемости

В ряде случаев требование существования конечной производной в точке является слишком сильным. Для таких ситуаций вводятся обобщенные понятия дифференцируемости, в частности:

• Субдифференцируемость
• Супердифференцируемость
• Квазидифференцируемость

Эти обобщенные классы функций сохраняют некоторые полезные свойства дифференцируемых функций и находят применение, например, в оптимизационных задачах.