Примеры графиков. Элементарные функции и их графики

Графики функций являются важным математическим инструментом для исследования различных процессов и зависимостей. Изучение свойств функций по их графикам позволяет глубже понять природу описываемых ими явлений.

Виды элементарных функций и их графики

Рассмотрим некоторые примеры графиков основных элементарных функций:

• Линейная функция y = kx + b. Ее график - прямая линия.
• Квадратичная функция y = ax^2 + bx + c. График - парабола.
• Степенная функция y = ax^n. Форма графика зависит от показателя степени n.
• Показательная функция y = a^x. График имеет асимптоты.
• Логарифмическая функция y = log_a(x). Также имеет асимптоты.
• Тригонометрические функции (sin(x), cos(x), tg(x)). Их графики периодические.

Давайте более подробно разберем некоторые примеры графиков элементарных функций и их свойства.

Квадратичная функция и ее график

Рассмотрим функцию вида y = x^2 + 2x + 1. Это квадратичная функция, график которой представляет собой параболу. Чтобы его построить, проведем исследование функции:

1. Область определения: D(-∞, +∞)
2. Четность: функция четная
3. Находим vertex параболы: (x=-1, y=1). Это точка минимума.
4. Вычисляем значение функции в начале координат: f(0)=1.

Используя эти данные, строим график функции:

Из графика видно, что функция принимает минимальное значение 1 в точке x=-1. Также y=1 при x=0. График симметричен относительно прямой x=-1, что соответствует свойству четности функции.

График функции с модулем

Рассмотрим график функции вида y = |x| + 2. Характерной особенностью является наличие модуля аргумента.

Проведем исследование:

• Область определения: D(-∞,+∞)
• Функция нечетная
• При x < 0 имеем: y = -x + 2
• При x ≥ 0 имеем: y = x + 2

Строим график функции с модулем:

Характерная особенность: в точке x=0 график имеет угловую точку, т.к. функция терпит разрыв. При переходе через точку x=0 производная функции меняет знак с «+» на «–».

График гиперболы

Гипербола также относится к числу элементарных функций. Рассмотрим гиперболу вида:

x2/9 - y2/16 = 1

При построении графика используем свойства:

• Асимптоты: y = +/-4x/3
• Вершины: (-3,0) и (3,0)
• Пересечение с осью Oy: нет

Характерные черты графика гиперболы: две ветви, две асимптоты, пересекающиеся в начале координат. Гипербола применяется в оптике, физике, астрономии.

Преобразования графиков

Зная свойства элементарных функций и умея строить их графики, можно выполнять различные преобразования графиков. Рассмотрим несколько примеров.

Параллельный перенос графика вдоль осей координат

Допустим, имеется график функции y = x^2. Чтобы сдвинуть этот график вдоль оси OX на 2 единицы влево, а вдоль OY на 3 единицы вверх, нужно преобразовать функцию следующим образом:

y = (x + 2)^2 + 3

Видно, что новый график сдвинут в указанном направлении.

Растяжение/сжатие графика вдоль осей

Чтобы растянуть график функции вдоль оси OY в 3 раза, а вдоль оси OX в 2 раза, выполняем следующие действия:

1. x = 2u - растяжение по OX в 2 раза
2. y = 3v - растяжение по OY в 3 раза
3. Подставляем в исходное уравнение: y = 3v = (2u)2 = 4u2
4. Получаем: v = u2 - уравнение преобразованной функции

Аналогично можно выполнить сжатие графика функции отдельно вдоль каждой из осей координат или одновременно вдоль обеих осей.

Примеры графиков в реальных процессах

Графики функций позволяют исследовать различные процессы и явления окружающего мира. Рассмотрим несколько примеров.

Движение и скорость

График скорости движения тела позволяет определить характер движения. На рисунке показан график движения автомобиля:

Из графика видно, что:

• В интервале A автомобиль ускорялся
• На участке B двигался равномерно со скоростью 70 км/ч
• На интервале C автомобиль тормозил

Таким образом, по графику зависимости скорости от времени можно судить о характере движения объекта.

Рост численности популяции

Квадратичная функция может описать скорость роста популяции животных. На графике показана динамика численности популяции леммингов за 15 лет:

Из графика видно, что на интервале от 2 до 6 лет наблюдался быстрый рост числа леммингов. После 6 лет темпы роста пошли на спад из-за исчерпания ресурсов среды.

Таким образом, квадратичная зависимость достаточно точно описывает динамику биологических популяций.

Применение графиков в экономике

Графики широко используются в экономическом анализе для исследования различных финансовых и бизнес-процессов. Рассмотрим несколько примеров.

Анализ спроса и предложения

Классическим примером являются графики спроса и предложения в микроэкономике. На рисунке показана зависимость объема продаж планшетных компьютеров от их цены:

Линии спроса (D) и предложения (S) пересекаются в точке равновесия Е, где объем продаж составит Q при цене P. Описание графиков спроса и предложения позволяет определить оптимальные параметры для максимизации прибыли.

Динамика курса акций

Графики широко используются при анализе фондового рынка. На рисунке показана динамика стоимости акций компании Apple за 2019-2021 гг:

Видно, что на фоне пандемии COVID в марте 2020 г. произошло резкое падение котировок акций (до минимума в $55). Однако уже к августу 2020 г. цена акций восстановилась и продолжила рост.

Анализ таких графиков позволяет оценить инвестиционную привлекательность акций компании.

Моделирование бизнес-процессов

С помощью графиков функций можно моделировать и оптимизировать бизнес-процессы компании.

Например, пусть имеются следующие ежемесячные данные о продажах и затратах некой компании:

Построим графики продаж и затрат:

Описание графиков наглядно демонстрирует проблему: несмотря на рост продаж, затраты компании растут быстрее, что ведет к убыткам. Требуется оптимизация затрат для повышения рентабельности.

Графический анализ функций в прикладных задачах

Помимо перечисленных областей, графики функций применяются во многих сферах для решения прикладных задач и исследования различных процессов. Рассмотрим дополнительные примеры.

Анализ эпидемиологических процессов

Графики часто используют эпидемиологи для моделирования и прогнозирования развития инфекционных заболеваний. Рассмотрим график заболеваемости гриппом в течение эпидемического сезона:

Как видно из графика, пик заболеваемости приходится на 9-12 неделю от начала эпидемии. Зная типичную динамику гриппа, можно заблаговременно подготовить необходимое количество противовирусных препаратов и медикаментов.

Прогноз погоды

Для прогнозирования погодных явлений метеорологи используют графики изменения различных параметров - температуры, влажности, атмосферного давления. На рисунке показан прогноз температуры на неделю:

Анализируя такие графики, синоптики делают краткосрочные и долгосрочные прогнозы погоды.

Управление технологическими процессами

В промышленности графики применяются для визуализации и управления различными технологическими процессами. Например, на графике показана температура в печи для обжига керамической плитки:

Контролируя температурный режим по графику, оператор может обеспечить оптимальный обжиг плитки в соответствии с технологическим регламентом.

Анализ экспериментальных данных

В научных исследованиях графики необходимы для анализа и интерпретации данных экспериментов. На рисунке показана зависимость активности фермента от температуры:

Из графика видно, что максимальная активность фермента наблюдается в диапазоне температур 38-42 °C. Это позволяет определить оптимальные условия применения данного фермента.

Моделирование динамики популяций

В экологии графики применяются для анализа динамики численности популяций животных и растений. Рассмотрим модель логистического роста популяции хищников:

Из графика видно, что при избытке пищевых ресурсов наблюдается быстрый рост численности (участок AB). По мере истощения ресурсов темпы роста замедляются (участок BC), и популяция стабилизируется на some уровне.

Оптимизация сельскохозяйственного производства

В агрономии графики применяются для определения оптимальных условий возделывания сельскохозяйственных культур. На рисунке показана зависимость урожайности пшеницы от доз внесения азотных удобрений:

Максимальная урожайность достигается при внесении 160 кг азота на 1 га. Дальнейшее увеличение доз нецелесообразно.

Определение оптимальных параметров систем

В технике для настройки систем используют графики зависимости выходных параметров от входных. На рисунке показана зависимость мощности двигателя от частоты вращения:

Максимальная мощность достигается при 3000 об/мин. Это позволяет определить оптимальный режим работы двигателя.

Итого

Мы рассмотрели примеры графиков некоторых элементарных функций и их основные свойства. Построение и анализ таких графиков позволяет глубже исследовать описываемые функциями зависимости, применяя математический аппарат для решения прикладных задач.