Квадратные корни, арифметический квадратный корень: свойства и применение

Арифметический квадратный корень - одна из фундаментальных математических операций. Казалось бы, что может быть проще - извлечь корень из числа. Однако за этой простой операцией скрывается мощный инструмент, позволяющий решать сложные задачи из самых разных областей: от геометрии до физики и химии.

Определение арифметического квадратного корня

Для начала давайте разберемся, что такое квадратный корень в общем смысле. Квадратным корнем из числа а называется такое число x, квадрат которого равен а:

x2 = a

Однако не из любого числа а можно извлечь корень. Например, квадратным корнем из отрицательного числа быть не может, поскольку квадрат любого числа положителен или равен нулю.

Поэтому вводится понятие арифметического квадратного корня. Арифметическим корнем из числа а называется неотрицательное число x, квадрат которого равен а:

x ≥ 0, x² = a

Таким образом, арифметический корень существует только для неотрицательных чисел а. Например:

• √9 = 3, так как 3 ≥ 0 и 3² = 9
• √16 = 4, так как 4 ≥ 0 и 4² = 16
• √0 = 0, так как 0 ≥ 0 и 0² = 0

В то же время арифметического корня, к примеру, из числа -100 не существует, поскольку квадрат любого числа не может быть отрицательным.

Свойства арифметического квадратного корня

Арифметический корень обладает рядом удобных свойств, позволяющих выполнять преобразования выражений, содержащих корни. Рассмотрим основные из них.

Корень из произведения чисел

Пусть a и b - неотрицательные числа. Тогда справедлива формула:

√(a · b) = √a · √b

То есть корень из произведения равен произведению корней. Это свойство часто используется для упрощения выражений, содержащих корни. Например:

√(4 · 9) = √4 · √9 = 2 · 3 = 6

Корень из отношения чисел

Если a > 0, а b ≥ 0, то выполняется равенство:

√(a / b) = √a / √b

То есть корень из частного равен частному корней. Применим это на практике:

√(64 / 16) = √64 / √16 = 8 / 4 = 2

Заметим, что здесь очень важно соблюдение условий: числитель должен быть положительным, а знаменатель - неотрицательным. Иначе результат получится неверным.

Возведение в степень

Для любого неотрицательного числа а соблюдается равенство:

√an = (√a)n

То есть возведение подкоренного выражения в степень эквивалентно возведению корня в ту же степень. Например:

√93 = (√9)3 = 33 = 27

Это свойство также широко используется при выполнении преобразований выражений с корнями.

Свойства арифметического квадратного корня

Применение свойств корня к отрицательным числам

Важно помнить, что рассмотренные выше свойства справедливы только для положительных и неотрицательных чисел. Применение их к отрицательным числам приведет к ошибочным результатам.

Например, неверно будет записать:

√(-16) = -4

Поскольку арифметический корень из отрицательного числа не определен. Попытка применить свойства корня к отрицательным числам также ошибочна:

√(49 - 64) ≠ √49 - √64

Здесь в левой части выражения подкоренное выражение отрицательно, а в правой части мы неправомерно применили свойство корня из разности.

Распространенные ошибки при работе со свойствами корня

Одной из наиболее грубых и частых ошибок является попытка "вынести" корень из-под знака корня:

√a ± √b ≠ √(a ± b)

Это неверное тождество нередко используется для упрощения выражений с корнями. Однако применение его всегда приводит к неправильному ответу:

√9 + √16 = 3 + 4 = 7

√(9 + 16) = √25 = 5

Поэтому будьте внимательны и не допускайте этой элементарной ошибки.

Таблица квадратов чисел

Чтобы быстро распознавать наличие тех или иных корней в сложных выражениях, очень полезно знать таблицу квадратов натуральных чисел. Вот небольшой фрагмент такой таблицы:

С ее помощью легко, например, заметить, что в выражении √(9 - 4) присутствуют корни √9 и √4, а в √(16 - 9) - корни √16 и √9.

Правила действий с арифметическими корнями

Помимо упомянутых свойств, существует ряд правил выполнения арифметических действий с выражениями, содержащими корни. Рассмотрим основные из них.

Правило умножения корней

Для умножения выражений с корнями используется свойство:

√a · √b = √(a · b)

Где a и b - неотрицательные числа. Например:

2√3 · √5 = √(2^2 · 3 · 5) = √60

Правило деления корней

Аналогично, для деления справедлива формула:

√a / √b = √(a / b), где b > 0

Применим ее:

√32 / √4 = √(32 / 4) = √8

Возведение корня в степень

Возведение корня в степень выполняется по правилу:

(√a)n = √an

Например:

(√5)3 = √53 = √125 = 5

Вынесение множителя из-под знака корня

Если под знаком корня стоит произведение, содержащее известный квадрат некоторого числа, это число можно вынести из-под знака корня. Например:

√18x^2 = √(9·2x^2) = 3√2x^2

Здесь число 9 = 3² мы вынесли из-под знака корня в виде числа 3.