Абсолютная погрешность: формула. Как найти абсолютную погрешность

Абсолютная погрешность - один из важнейших показателей точности измерений. От того, насколько мы можем доверять полученным данным, часто зависят серьезные решения. Давайте разберемся, что такое абсолютная погрешность, как она связана с относительной, как вычислить по формуле и интерпретировать на практике.

Определение абсолютной погрешности

Абсолютная погрешность (Δx) - это разность между измеренным значением физической величины (x) и ее истинным значением (x0):

Δx = x - x0

Где x - приближенное значение величины, x0 - точное (истинное) значение. Например, если с помощью линейки измерили длину отрезка как 12 см, а истинная длина отрезка 12,3 см, то абсолютная погрешность составит:

Δx = 12 см - 12,3 см = -0,3 см

Абсолютная погрешность выражается в тех же единицах измерения, что и сама физическая величина. В нашем случае - в сантиметрах.

Связь абсолютной и относительной погрешностей

Относительная погрешность (δ) показывает, насколько процентов отклоняется полученный результат от истинного значения. Она связана с абсолютной погрешностью соотношением:

δ = (Δx / x0) · 100%

В нашем примере с длиной отрезка относительная погрешность составит:

δ = (|-0,3| / 12,3) · 100% = 2,4%

Абсолютная погрешность косвенных измерений

При косвенных измерениях искомая величина вычисляется по известной формуле через другие, непосредственно измеренные величины. Например, сопротивление проводника R = U/I.

Для расчета абсолютной погрешности косвенных измерений используют формулу, основанную на методе границ:

Δx = |(∂f/∂x1)Δx1 + (∂f/∂x2)Δx2 +...+ (∂f/∂xn)Δxn|

Где:

• x - искомая величина
• Δx - ее абсолютная погрешность
• f - формула для расчета величины x
• (∂f/∂xi) - частная производная по каждому аргументу
• Δxi - абсолютная погрешность для каждого аргумента

Рассмотрим на примере. Необходимо найти абсолютную погрешность электрического сопротивления R = U/I, если измерены напряжение U = (220 ± 2) В и сила тока I = (5 ± 0,1) А.

Пример расчета для электрического сопротивления

ΔR = |(-1/I²)ΔU + (U/I²)ΔI| = |(-1/5²)2 + (220/5²)0,1| = 3,6 Ом

Итого, сопротивление равно:

R = (44 ± 3,6) Ом

Анализ различных видов погрешностей

Для того чтобы минимизировать погрешности в дальнейшем, важно разобраться в причинах их возникновения. Рассмотрим подробнее разные виды:

Систематические погрешности

Это наиболее опасные, так как они вносят постоянное смещение результата. Причины могут быть самые разные:

• Неточная градуировка приборов
• Влияние внешних условий
• Ошибки методики

Случайные погрешности

Хотя случайные погрешности и не смещают результат в какую-либо сторону, но они также нежелательны, поскольку:

• Ухудшают воспроизводимость
• Увеличивают разброс данных

Способы борьбы со случайными погрешностями

Чтобы минимизировать влияние случайных факторов, можно использовать такие приемы:

1. Усреднение результатов многократных измерений
2. Автоматизация сбора и обработки данных
3. Повышение квалификации персонала

Пример устранения систематической погрешности

Если выявлена и достоверно измерена величина систематической составляющей, то ее можно скомпенсировать, например, вводя поправочный коэффициент в расчетную формулу.

Поправки на систематические погрешности

Допустим, при измерении напряжения на резисторе в цепи постоянного тока, выяснилось, что показания вольтметра систематически завышены на 0,1 В. Тогда фактическое напряжение Уф можно рассчитать по формуле:

Уф = Уизм - 0,1 В

Где Уизм - измеренное вольтметром напряжение. Аналогичный подход применим и в других случаях.

Статистическая обработка данных

Если есть возможность провести многократные измерения одной и той же величины, то на основе полученной выборки можно произвести статистическую обработку и более точно оценить истинное значение.

Вычисление среднего арифметического

Среднее арифметическое позволяет уменьшить случайную составляющую погрешности:

ксср = (x1 + x2 + ... + xn) / n

Оценка стандартного отклонения

Стандартное отклонение характеризует разброс данных в выборке:

σ = √((x1 - ксср)² + (x2 - ксср)² + ... + (xn - ксср)²) / (n - 1)

Автоматизация обработки данных

Современные информационные технологии позволяют минимизировать влияние человеческого фактора за счет автоматизации сбора и анализа результатов.

Автоматизированные системы сбора данных

Системы автоматического сбора данных, такие как АСУ ТП, SCADA и другие, позволяют накапливать большие массивы измерительной информации без участия оператора.

Преимущества автоматизации

• Исключение ошибок отсчета и записи показаний
• Высокая периодичность опроса датчиков
• Хранение данных в цифровом виде

Автоматизированная статистическая обработка

Собранные данные можно обрабатывать WHEN с помощью специального программного обеспечения, которое автоматически рассчитает:

• Средние значения
• Стандартные отклонения
• Доверительные интервалы
• Построит графики и т.д.

Метрологическое обеспечение эксперимента

Для снижения погрешностей очень важно тщательно продумать методики измерений и используемые технические средства.

Приборы должны иметь достаточный класс точности и диапазон измерений.

Метрологическая аттестация оборудования

Все средства измерений должны проходить периодическую поверку и калибровку для подтверждения метрологических характеристик и работоспособности.

Контроль условий эксперимента

Необходимо обеспечить нормируемые условия по таким параметрам, как:

• Температура окружающей среды
• Влажность воздуха
• Атмосферное давление
• Уровень вибрации
• Наличие электромагнитных помех и т.д.

Аттестация методики выполнения измерений

Методика измерений должна пройти метрологическую экспертизу и аттестацию для подтверждения ее работоспособности и корректности.

Большую роль в обеспечении точности играет уровень квалификации инженеров и техников, осуществляющих измерения.

Требования к персоналу:

• Знание нормативных документов
• Опыт работы с конкретными приборами и оборудованием
• Владение компьютерными программами обработки
• Способность выявлять грубые погрешности