Виды многоугольников: классификация, особенности, применение

Многоугольники - одни из самых распространенных геометрических фигур, которые окружают нас повсюду. Давайте разберемся, какие бывают виды многоугольников, чем они отличаются и где применяются.

Основные определения

Многоугольником называется плоская замкнутая фигура, образованная отрезками, которые называются его сторонами. Точки соединения соседних сторон называются вершинами многоугольника. Число сторон многоугольника называется его угловатостью.

Различают выпуклые многоугольники, у которых любая прямая, проведенная через сторону, пересекает многоугольник не более чем в двух точках, и невыпуклые.

Если у многоугольника все стороны и все углы равны, то он называется правильным. Например, правильные треугольник, четырехугольник и шестиугольник называются соответственно равносторонним треугольником, квадратом и правильным шестиугольником.

Классификация многоугольников

Существует несколько способов классифицировать многоугольники.

По количеству сторон

В зависимости от количества сторон различают:

• Треугольник - 3 стороны
• Четырехугольник - 4 стороны
• Пятиугольник - 5 сторон
• Шестиугольник - 6 сторон
• И т.д.

По соотношению сторон и углов

По соотношению длин сторон и величин углов различают:

• Равносторонние - все стороны равны
• Равнобедренные - две стороны равны
• Прямоугольные - один из углов прямой
• Остроугольные - все углы острые
• Тупоугольные - один из углов тупой

Другие виды

К другим видам многоугольников относят:

• Выпуклые
• Звездчатые
• Самопересекающиеся

Особенности разных видов многоугольников

Треугольники

Треугольники обладают следующими свойствами:

• Сумма всех внутренних углов треугольника равна 180°
• Сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны
• Медианы, проведенные из вершин треугольника, пересекаются в одной точке

По длинам сторон различают равносторонние, равнобедренные и разносторонние треугольники. По углам - остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Четырехугольники

Наиболее распространенными видами четырехугольников являются:

• Прямоугольник - четырехугольник, у которого все углы прямые
• Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны
• Ромб - четырехугольник с равными сторонами
• Трапеция - четырехугольник с двумя параллельными сторонами
• Параллелограмм - четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

У прямоугольника и квадрата все углы прямые, а у остальных четырехугольников могут быть как острые, так и тупые углы.

Многоугольники большей угловатости

С ростом количества сторон растет и количество разновидностей многоугольников. Например, среди пятиугольников различают выпуклые и невыпуклые, правильные и неправильные.

У шестиугольников также выделяют выпуклые, невыпуклые, правильные. Кроме того, существуют правильные многоугольники с еще бо́льшим числом сторон - семиугольник, восьмиугольник и т.д.

Пятиугольники и шестиугольники

Пятиугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми. К выпуклым пятиугольникам относится правильный пятиугольник, у которого все стороны и все углы равны. Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна 540°.

У невыпуклого пятиугольника один или несколько углов больше 180°. Невыпуклый пятиугольник можно разделить диагональю на два многоугольника меньшей угловатости.

Правильный шестиугольник называется правильным шестиугольником. Он имеет форму пчелиных сот, широко используется в дизайне, архитектуре, химии. Сумма его внутренних углов равна 720°.

Формулы для многоугольников

Для вычисления периметра любого многоугольника используется формула:

P = a + b + c + ...,

где a, b, c - длины отдельных сторон.

Для вычисления суммы внутренних углов выпуклого n-угольника используется формула:

(n - 2) × 180°,

где n - количество сторон.

Например, для пятиугольника формула дает:

(5 - 2) × 180° = 3 × 180° = 540°

Любопытные факты

Вокруг нас много интересных примеров использования многоугольников:

• Футбольный мяч состоит из 32 правильных пятиугольников и 12 правильных шестиугольников
• Восьмиугольниками вымощены пешеходные зоны многих городов
• Многие мостовые выложены правильными шестиугольными плитками

Таким образом, зная свойства различных многоугольников, можно объяснить многие интересные явления в окружающем мире.

Применение многоугольников

Многоугольники широко используются в различных областях:

• Архитектура и строительство
• Дизайн интерьера и ландшафтный дизайн
• Изобразительное искусство
• Техника

Архитектура и строительство

В архитектуре применяются многоугольники для планировки зданий и сооружений. Например, квадраты и прямоугольники часто используются при проектировании зданий, помещений. Правильные шестиугольники применяются в пчелиных сотах, фермах, куполах.

Дизайн

В дизайне интерьера и ландшафтном дизайне многоугольные формы используются для создания гармоничных композиций. Например, правильные многоугольники часто применяются для выкладывания полов, мощения дорожек.

Искусство

Многоугольные и звездчатые фигуры широко используются в изобразительном искусстве, орнаментах. Они придают композициям оригинальность, динамичность, выразительность.

Техника

В машиностроении, приборостроении применяются детали многоугольной формы - шестигранные гайки, болты, винты и т.п. Многоугольники используются в оптике, кристаллографии.