Теорема о внешнем угле треугольника: доказательство и следствия
Теорема о внешнем угле треугольника является одной из фундаментальных теорем геометрии. Знание этой теоремы позволяет решать множество задач, связанных с вычислением углов треугольников и многоугольников. Давайте разберемся, что же это за теорема, как ее доказать и какие следствия из нее вытекают.
1. Определение внешнего угла треугольника
Внешним углом треугольника при вершине A называется угол между продолжениями сторон AB и AC за эту вершину:
- Обозначается как ∠БАС или ∠1
- Является внешним по отношению к треугольнику ABC
- Смежен с внутренним углом ∠A треугольника
У каждого треугольника есть 3 пары внешних углов, по 2 угла при каждой вершине. Всего 6 внешних углов. Каждая пара внешних углов равна, так как углы вертикальные.
2. Формулировка теоремы о внешнем угле треугольника
Теорема о внешнем угле треугольника гласит:
Внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов треугольника.
В математической форме:
∠1 = ∠B + ∠C, где ∠1 - внешний угол, ∠B и ∠C - внутренние углы треугольника.
| Формулировка теоремы | Словесная | Внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов |
| Формулировка теоремы | Математическая | ∠1 = ∠B + ∠C |
3. Доказательство теоремы о внешнем угле треугольника
Рассмотрим классическое доказательство теоремы о внешнем угле треугольника, принадлежащее Евклиду. В нем используются свойства параллельных прямых, а не теорема о сумме углов треугольника.
Дан треугольник ABC. Докажем, что его внешний угол ∠ACB равен сумме внутренних углов ∠BAC и ∠ABC.
- Проводим через вершину C прямую линию DE, параллельную стороне AB.
- Обозначаем точку пересечения DE и продолжения BC как F.
- Углы ∠BAC и ∠EDF равны как соответственные при параллельных AB и DE.
- Углы ∠CAB и ∠ABF равны как накрест лежащие при параллельных AB и DE.
- Значит, внешний угол ∠ACB складывается из этих двух равных ему углов ∠BAC и ∠ABC.
- Теорема доказана.
Также можно доказать теорему, используя более простое доказательство от противного через теорему о сумме углов треугольника. Но классическое евклидово доказательство важно знать как пример применения свойств параллельных прямых в геометрических задачах.
4. Следствия из теоремы о внешнем угле треугольника
Из теоремы о внешнем угле треугольника вытекает ряд важных следствий:
- Внешний угол треугольника всегда больше каждого из двух не смежных с ним внутренних углов
- Если внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, то эти два угла равны
- Если один из внутренних углов треугольника равен сумме двух других углов, то он является прямым
Эти следствия позволяют решать множество задач на нахождение и доказательство различных углов.
Например, можно доказать, что в равнобедренном треугольнике внешний угол при основании всегда больше каждого из двух равных углов. Или найти неизвестный угол треугольника, зная два других угла и внешний угол.
Теорема о внешнем угле треугольника является очень важной в геометрии. Зная ее формулировку, доказательство Евклида и следствия из нее, можно успешно решать множество задач с треугольниками и многоугольниками.
5. Связь внешнего и внутреннего углов треугольника
Рассмотрим более подробно связь между внешним и внутренним углами одного треугольника:
- Внешний и внутренний углы при одной вершине являются смежными
- Их сумма всегда равна 180°
Также существует интересное свойство биссектрис этих углов:
Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника являются перпендикулярными друг к другу.
Это свойство позволяет строить перпендикуляры к сторонам треугольника, используя лишь циркуль и линейку.
6. Применение теоремы о внешнем угле в задачах
Рассмотрим конкретные примеры использования теоремы о внешнем угле треугольника при решении задач:
- Нахождение неизвестного угла треугольника
- Доказательство равенства или неравенства углов
- Вычисления углов в задачах с многоугольниками
Например, если в треугольнике известно значение одного внутреннего угла и обоих внешних углов при других двух вершинах, можно легко найти оставшиеся внутренние углы, воспользовавшись теоремой о внешнем угле.
7. Интересные факты о теореме
Приведем несколько любопытных фактов о теореме о внешнем угле треугольника и внешних углах в целом:
- Впервые теорему доказал Евклид в работе "Начала" (около 300 г. до н.э.)
- Существуют и другие доказательства теоремы через теорему косинусов и синусов
- У многоугольника тоже можно рассматривать внешние углы по аналогии с треугольником
Внешний угол многоугольника равен сумме его внутренних углов, не смежных с данным внешним углом
8. Обязательная теорема
Теорема о внешнем угле треугольника - фундаментальная теорема геометрии. Она позволяет связывать между собой внутренние и внешние углы треугольника и решать множество задач на вычисление и доказательство углов.
Владение этой теоремой, знание ее доказательств и следствий является обязательным для любого, кто изучает геометрию. Теорема о внешнем угле треугольника - это один из краеугольных камней всей геометрии!
9. Обобщение теоремы на многоугольники
Теорему о внешнем угле можно обобщить не только на треугольники, но и на многоугольники. Рассмотрим это подробнее.
Пусть дан произвольный многоугольник и взят один из его внешних углов. Этот угол будет смежен с одним из внутренних углов многоугольника.
Внешний угол многоугольника равен сумме всех внутренних углов многоугольника, не смежных с данным внешним углом.
Это утверждение можно доказать по аналогии с треугольником, разбив многоугольник на треугольники и применив теорему о внешнем угле к каждому из них.
10. История открытия теоремы
- Теорема впервые сформулирована и доказана Евклидом в работе "Начала" (около 300 г. до н.э.)
- Первое известное доказательство принадлежит Пифагору (500-е гг. до н.э.)
- Позднее появились доказательства через тригонометрические теоремы
Теорема о внешнем угле треугольника была открыта еще в глубокой древности. На протяжении веков математики находили все новые способы ее доказательства. И в наши дни эта теорема не потеряла своей актуальности, являясь базовой в геометрии.
11. Парадоксы теоремы
Существуют интересные геометрические парадоксы, связанные с теоремой о внешнем угле:
- Парадокс удвоения квадрата - если к стороне квадрата пристроить два таких же квадрата, получится большой квадрат со стороной в два раза больше
- Парадокс треугольника с углом 270° - можно начертить треугольник, у которого сумма всех углов больше 180°
Эти парадоксы объясняются особенностями построения бесконечных множеств в геометрии.