Радиус окружности, вписанной в трапецию: формулы и расчет

На протяжении веков геометрия и математика играли важную роль в развитии человечества. Одной из ключевых фигур является трапеция - четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Что, если рассмотреть ее под иным углом и вписать в нее окружность? Каков будет радиус этой окружности и как его вычислить? Давайте разберемся!

Условия вписания окружности в трапецию

Трапеция представляет собой четырехугольник, у которого две стороны параллельны - это основания трапеции. Другие две стороны называют боковыми сторонами.

Теорема: окружность можно вписать в произвольный выпуклый четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Трапеция является выпуклым четырехугольником, поэтому применима данная теорема. Это означает, что необходимым и достаточным условием вписания окружности в трапецию является равенство суммы длин оснований сумме длин боковых сторон:

• AD + BC = AB + CD

Рассмотрим примеры трапеций, удовлетворяющих и не удовлетворяющих данному условию:

1. Для трапеции с основаниями AB = 5 см, CD = 7 см и боковыми сторонами BC = 4 см, AD = 8 см условие выполняется: AB + CD = 5 + 7 = 12 см; BC + AD = 4 + 8 = 12 см.
2. Для трапеции с основаниями AB = 3 см, CD = 6 см и боковыми сторонами BC = 5 см, AD = 4 см условие не выполняется: AB + CD = 3 + 6 = 9 см; BC + AD = 5 + 4 = 9 см.

Вычисление радиуса вписанной окружности

Когда известно, что в трапецию можно вписать окружность, встает вопрос о вычислении ее радиуса R. Существует несколько формул для нахождения радиуса через параметры самой трапеции:

• Через стороны трапеции:

R = √(q*v) / (q+v), где q и v - длины отрезков боковой стороны от точки касания до вершин трапеции

• Через высоту трапеции h:

R = h / 2

• Для равнобедренной трапеции с равными боковыми сторонами a и основаниями b и c:

R = √(b*c) / (2*(b+c))

Рассмотрим примеры вычисления радиуса вписанной окружности для конкретных трапеций.

1. Для трапеции с основаниями 7 см и 5 см, боковой стороной 10 см, точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной 4 см и 6 см. R = √(4*6) / (4+6) = √24 / 10 = 2 см
2. Для равнобедренной трапеции с боковыми сторонами 6 см, основаниями 5 см и 9 см: R = √(5*9) / (2*(5+9)) = 3 см

При подстановке числовых значений в формулы будьте внимательны, проверяйте правильность вычислений!

В следующем разделе статьи мы рассмотрим, как можно использовать полученное значение радиуса R для решения других задач, связанных с вписанной окружностью и трапецией.

Применение радиуса вписанной окружности

Зная радиус R вписанной в трапецию окружности, можно вычислить ее диаметр, площадь, периметр и другие характеристики по стандартным формулам геометрии.

Параметры вписанной окружности

Диаметр окружности равен удвоенному радиусу:

• D = 2R

Площадь окружности равна произведению числа π на квадрат радиуса:

• S = πR²

Периметр (длина окружности) вычисляется по формуле:

• P = 2πR

Параметры трапеции

Зная радиус вписанной в трапецию окружности, можно найти некоторые параметры самой трапеции, например:

• Высоту трапеции: h = 2R
• Полусумму оснований трапеции: l = πR
• Площадь трапеции: S = (πR√(R² - d²)) / 2

где d - расстояние между серединами оснований трапеции.

Таким образом, зная всего одну величину - радиус вписанной окружности, можно получить множество других характеристик трапеции и самой окружности.

Решение задач

Давайте рассмотрим пример решения задачи на радиус вписанной в трапецию окружности.

Известно: в равнобедренную трапецию вписана окружность радиусом 5 см. Найти площадь трапеции, если известно, что ее меньшее основание равно 12 см.

Решение:

1. Поскольку трапеция равнобедренная, большее основание вдвое больше меньшего: 24 см.
2. Радиус вписанной окружности R = 5 см.
3. Высота трапеции h = 2R = 10 см.
4. Площадь трапеции равна S = (a + b) * h / 2 = (12 + 24) * 10 / 2 = 180 (см²).

Ответ: 180 см².

Попробуйте самостоятельно решить похожие задачи на вписанные окружности с использованием радиуса R!